En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil sans masse et inextensibleÉlie Lévy, Dictionnaire de Physique, Presses universitaires de France, Paris, 1988, page 596., et oscillant sous l'effet de la pesanteur. Il s'agit du modèle de pendule pesant le plus simple. Il est parfois appelé pendule de gravité idéal et, par opposition, tout pendule de gravité réel est appelé pendule pesant composé. Par extension, on appelle aussi parfois pendule simple un dispositif dans lequel le fil inextensible est remplacé par une tige rigide de masse nulle pouvant tourner sans frottement dans un plan vertical autour de son extrémité fixe (liaison parfaite).
alt=Pendule simple (laboratoire)|vignette|Pendule simple (laboratoire). Il est possible d'approcher expérimentalement cet objet théorique en suspendant une masse de faible dimension au bout d'un fil (voir illustration). À cause de sa nature relativement simple, il se prête à des études théoriques poussées sur le plan mathématique. Ces études ont trouvé plusieurs applications en physique théorique, notamment dans les systèmes harmoniques simples.
Sous l'effet de son poids, lorsque le pendule est écarté de sa position d'équilibre (la verticale), le point matériel de masse se déplace sur un arc de cercle : l'effet du poids tendant constamment à ramener le pendule vers sa position d'équilibre stable, celui-ci se met à osciller.
Équations du mouvement Mise en équation Dans cette mise en équation, le freinage du pendule dû à l'air ambiant est négligé. On repère la position du pendule simple par l'angle qu'il fait avec la verticale descendante, en choisissant une orientation positive. On note la masse du pendule, la longueur du fil et l'accélération due à la pesanteur ( pour une latitude de 45° et au niveau de la mer).
Bilan des forces Le poids La tension de la tige
Dans ce modèle les autres forces sont négligées, notamment les forces de frottement (dans la réalité, le pendule s'arrête d'osciller sous l'action des frottements).
Principe fondamental de la dynamique vignette|Schéma du pendule simple représentant les forces en jeu et les vecteurs unitaires en coordonnées polaires Une première façon d'établir l'équation du mouvement du pendule est d'appliquer le principe fondamental de la dynamique : . vignette|Projections des forces dans le repère polaire : le poids a pour intensité et est orienté verticalement vers le bas. Sa composante normale, selon , vaut donc et sa composante tangentielle (car elle est orientée dans le sens opposé à ).
On se place dans un système de coordonnées polaires avec un vecteur unitaire de même direction que le fil du pendule et un vecteur , orthogonal à . Dans ce système de coordonnées, étant donné que la longueur du fil est constante, l'accélération s'écrit ,
avec: , . En projetant les deux forces et dans le repère polaire, on obtient :
La projection selon donne ainsi l'équation différentielle décrivant le mouvement :
Soit, en notant :
Énergie mécanique du pendule La même équation peut être obtenue à partir de l'expression de l'énergie mécanique du pendule qui est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle (ici de pesanteur). La vitesse du pendule est ( étant la vitesse angulaire du pendule). Par ailleurs, si l'on considère l'énergie potentielle nulle au point le plus bas (), on peut écrire :
Le pendule est soumis à deux forces : son poids, qui est une force conservative, et la tension du fil, qui n’est pas une force conservative mais dont le travail est nul car elle est toujours perpendiculaire au déplacement de la masse. L’énergie mécanique du système se conserve donc au cours du temps. En dérivant l'expression précédente par rapport au temps, on obtient donc :
On exclut la solution évidente, , qui correspond au cas où le pendule est à l'arrêt. On divise alors par , ce qui permet de retrouver l'équation du mouvement vue précédemment : , avec
Puits de potentiel
Si on trace en fonction de le graphe de l'énergie potentielle , on obtient la figure suivante. On a tracé en gris le niveau de l'énergie potentielle maximale .
Si l'énergie mécanique du pendule se situe à un niveau inférieur à , le pendule est confiné dans un puits de potentiel. Il existe une élongation maximale du pendule pour laquelle la vitesse s'annule, et le pendule oscille périodiquement. On a alors :
qui se simplifie en : . Si l'énergie du pendule se situe à un niveau supérieur à , alors le pendule franchit les barrières de potentiel, sa vitesse angulaire ne peut s'annuler et le pendule tourne autour du point O.
Résolution La résolution exacte des équations du mouvement du pendule simple fait appel aux fonctions elliptiques de Jacobi. À un niveau élémentaire, on se contente d'une résolution approchée pour de petites oscillations. Dans ce cas, en effet, on peut confondre avec et on obtient alors l'équation : avec, rappelons-le, dont une solution (choisie de façon que s'annule pour = 0) est : , de période .
Pour de plus grandes amplitudes, on peut utiliser pour la période la formule approchée de Borda : ; avec en radians.
Pour une énergie mécanique supérieure à , le pendule tournoie de façon périodique. À grande vitesse , la période de rotation est équivalente à .
Tension de la tige
Une quantité physique dépend de la masse du pendule : la tension de la tige (pour sa mesure, on peut coller sur la barre une jauge de déformation étalonnée).
On a vu plus haut que :
et l'on sait que, dans le cas du pendule oscillant : , d'où
T varie entre et . Par exemple, pour θ = 90°, T varie entre 0 et 3mg. Si on remplace la tige par un fil, il faut prévoir un fil résistant à (kilogramme-force) pour une masse de , sinon le fil casse et la masse part ensuite en trajectoire parabolique. L'expérience est facile à montrer et assez spectaculaire mais il faut trouver le fil qui ne s'étire pas trop avant de casser. Une mise en évidence facile de l'augmentation de la tension T est d'utiliser un fil élastique. Mais il ne s'agit plus du tout du même problème et ce n'est plus du tout élémentaire (cf botafumeiro).
Boucler la boucle T s'annule pour certaines conditions initiales de lancement différentes de celle proposée ci-dessus, voire devient négative, la tige supportant alors la masse. Il est classique de montrer que, lancée du point le plus bas avec une énergie , la masse arrivera au bout d'un temps infini au sommet du cercle (et le cas est intégrable aisément). On se doute que si la tige est remplacée par un fil (liaison unilatérale), la trajectoire ne sera pas : montée au sommet, puis chute à la verticale ; il y aura décrochage quand T sera nulle, c’est-à-dire pour tel que , ce qui correspond à un angle d'amplitude 132° et une hauteur h = l + 2/3 l. L'expérience est facile à faire avec un pendule dont la masse est une pièce trouée, glissant d'abord sur un demi-cercle rigide, puis se retrouvant "dans l'air" attachée à son fil pour la deuxième partie du mouvement (ou évidemment avec la jauge de contrainte).
Alors que pour une tige, il suffit que l'énergie dépasse pour que le pendule se mette à tourner (), dans le cas d'un fil il faut une énergie cinétique initiale supérieure à afin que le fil reste tendu.
Grandes amplitudes et non-linéarité On introduit progressivement la non-linéarité : d'abord en considérant le deuxième terme du développement du sinus. puis en traitant le cas général, qui nécessite l'utilisation des fonctions elliptiques de Jacobi , , , .
Formule de Borda On considère donc l'équation différentielle approchée, dite de Duffing, obtenue en remplaçant par :
On montre alors que la période dépend de l'amplitude. La formule de Borda donne :
Le terme négligé qui suit est . Cette formule suffit jusqu'à , à 3 % de précision (1 + 10/64 = 1156 au lieu de 118). Il en existe plusieurs démonstrations : La méthode des perturbations de Lindstedt-Poincaré consiste à modifier la solution en lui ajoutant une petite perturbation tout en modifiant également la pulsation du mouvement en . On cherche la valeur à donner à de façon que l'équation différentielle, simplifiée en se limitant aux perturbations du premier ordre, donne une solution bornée. Cette valeur de est de sorte que la pulsation retenue est . T étant proportionnel à l'inverse de ω, la formule de Borda en découle.
Si on suppose l'oscillation quasi sinusoïdale, la raideur moyenne étant plus faible, on s'attend physiquement à une diminution de la pulsation. En utilisant la formule d'Euler , et en cherchant , il vient , d'où et .
On peut préférer la démonstration suivante dite du viriel : ~ d'où par la formule de Wallis : , soit .
L'équation du mouvement du pendule est complètement intégrable grâce aux fonctions elliptiques, ce qui fait l'objet du paragraphe qui suit. Il suffit alors d'effectuer un développement à l'ordre souhaité de la solution exacte.
Cas pleinement non linéaire On considère le cas pleinement non linéaire. Écrivons la conservation de l'énergie mécanique
sous la forme : , avec .
Posons , avec .
Il existe trois cas: k<1, k=1, k>1.
k<1 - le pendule oscille - cela signifie que et varie entre et . On a : . Entre 0 et , on a . Un petit angle élémentaire est parcouru pendant un intervalle de temps élémentaire . La période totale des oscillations est donc .
Les calculs doivent donner :
où
le module elliptique est l’intégrale elliptique complète de première espèce, sn et cn sont des fonctions elliptiques de Jacobi.<center> en degré en radian 10 0,175 1,001 904 1,001 907 1,001 90620 0,349 1,007 615 1,007 669 1,007 66730 0,524 1,017 135 1,017 404 1,017 40840 0,698 1,030 462 1,031 312 1,031 34350 0,873 1,047 596 1,049 673 1,049 78660 1,047 1,068 539 1,072 845 1,073 18270 1,222 1,093 289 1,101 267 1,102 14880 1,396 1,121 847 1,135 456 1,137 49390 1,571 1,154 213 1,176 012 1,180 338100 1,745 1,190 386 1,223 612 1,232 228110 1,920 1,230 367 1,279 013 1,295 343120 2,094 1,274 156 1,343 054 1,372 883130 2,269 1,321 752 1,416 650 1,469 815140 2,443 1,373 156 1,500 798 1,594 440150 2,618 1,428 368 1,596 576 1,762 189160 2,793 1,487 388 1,705 139 2.007 542170 2,967 1,550 215 1,827 724 2,439 202180 3,142 1,616 850 1,965 646
La fonction K admet également le développement :
où est un coefficient binomial. En remplaçant k par et en se limitant aux deux premiers termes, on retrouve la formule de Borda.
k=1 - cas limite correspondant à .
où cosh et tanh sont respectivement le cosinus et la tangente hyperboliques.
E de la formule montre que nous avons un temps infini pour entrer dans la verticale.
k>1 - le pendule tournoie varie entre et . La période pour effectuer un tour est: . Si est très grand, compte tenu du fait que K(0) vaut , on pourra vérifier que la période tend vers .
Il est parfois judicieux de prendre pour période le temps mis pour faire deux tours. En effet, pour k légèrement inférieur à 1, le pendule effectue une trajectoire de longueur voisine de 4π. Avec cette convention, on a alors Voir ..
On a également :
où et sont des fonctions elliptiques de Jacobi.
Plan de phase
On appelle orbite de phase la représentation paramétrée en temps du couple , ou de fonctions monotones de celles-ci. Dans le graphe ci-dessous, est en abscisse et en ordonnée. On discerne : la région dite d'oscillation (en noir), dite en œil d'Horus ou en œil en amande. Chaque orbite est parcourue dans le sens inverse au sens trigonométrique et tourne autour des points d'équilibre stables S, correspond aux valeurs 0, 2, 4, etc de θ. les deux régions de révolution (en rouge), soit positive (en haut), soit négative (en bas), correspondant au cas où le pendule tourne autour du point O. la séparatrice, en bleu, correspondant au cas limite où θ vaut . les points d'équilibre stable S déjà évoqués. Les points d'équilibre instable I correspondant aux valeurs , 3, etc de θ. Il faut un temps infini pour parcourir une orbite qui va d'un point I à un autre.