En mathématiques, un ensemble simplicial X est un objet de nature combinatoire intervenant en topologie. Il est la donnée : d'une famille (X) d'ensembles, indexée par les entiers naturels, les éléments de X étant pensés comme des simplexes de dimension n et pour toute application croissanted'une application le tout tel que Autrement dit : X est un foncteur contravariant, de la catégorie simpliciale Δ dans la catégorie Set des ensembles, ou encore un foncteur covariant de la catégorie opposée Δ dans Set.
Exemple À tout complexe simplicial abstrait (V, Σ) est associé naturellement l'ensemble simplicial X dont les n-simplexes sont les applications g de {0, … , n} dans V dont l'image appartient à Σ, avec
Homologie Soit K un anneau commutatif. À tout ensemble E est associé un K-module libre K[E] de base E donc par fonctorialité, à tout ensemble simplicial X est associé un K-module simplicial M = K[X]. : pour tout entier n, le module M est le K-module libre K[X] et (en notant, Chap. 3, Appendix A. [n] l'ensemble totalement ordonné {0, 1, … , n}) pour toute application croissante f : [m] → [n], l'application linéaire est l'application induite par
Par ailleurs, à tout module simplicial M on associe naturellement un complexe de chaînes en posant, pour tout n :
où δ : [n – 1] → [n] désigne la i coface, c'est-à-dire l'injection croissante de [n – 1] dans [n] dont l'image ne contient pas i.
L'homologie simpliciale (à coefficients dans K) de l'ensemble simplicial X est par définition l'homologie du complexe de chaînes associé au module simplicial K[X].
Elle ne dépend par construction que de la structure de module semi-simplicial déduite de K[X], donc de celle d' déduite de X, par oubli des dégénérescences.
Notes et références S. I. Gelfand et Yu. I. Manin, Methods of homological algebra, chap. 1.
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Catégorie:Théorie des catégories Catégorie:Topologie algébrique