En mathématiques, lensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite de nombres complexes définie par récurrence par :
est bornée. alt=Représentation de l'ensemble de Mandelbrot|vignette|L'ensemble de Mandelbrot (en noir). droite|vignette|alt=Zoom sur une partie de la représentation|Zoom sur une partie de l'ensemble. On remarque l'autosimilarité des structures.
L'ensemble de Mandelbrot a été découvert par Gaston Julia et Pierre FatouVoir à ce sujet : Jean-Pierre Louvet les fractales sur le site de futura-science ; en réalité, la première description précise de l'ensemble semble due à Brooks et Matelski (voir la section historique). avant la Première Guerre mondiale. Sa définition et son nom actuel sont dus à Adrien Douady, en hommage aux représentations qu'en a réalisées Benoît Mandelbrot dans les années 1980. Cet ensemble permet d'indicer les ensembles de Julia associés à la suite : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent. Les points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes. Cet ensemble est donc intimement lié aux ensembles de Julia, ils produisent d'ailleurs des formes similairement complexes.
Les images de l'ensemble de Mandelbrot sont réalisées en parcourant les nombres complexes sur une région carrée du plan complexe et en déterminant pour chacun d'eux si le résultat tend vers l'infini ou pas lorsqu'on y itère une opération mathématique. On considère la partie réelle et imaginaire de chaque nombre complexe comme des coordonnées et chaque pixel est coloré selon la rapidité de divergence, ou si elle ne diverge pas.
Les images de l'ensemble de Mandelbrot exposent une limite élaborée qui révèle progressivement des détails récursifs toujours plus fins en augmentant le grossissement. La limite de l'ensemble est constituée de plus petites versions de la forme principale, donc la propriété fractale de l'autosimilarité s'applique à l'ensemble tout entier (et pas simplement à certaines parties).
L'ensemble de Mandelbrot est devenu populaire hors des mathématiques, comme inspiration artistique et comme exemple de structure complexe venant de l'application de règles simples. C'est l'un des exemples les plus connus de visualisation mathématique.
Historique vignette|Benoît Mandelbrot en 2007. L'ensemble de Mandelbrot tire ses origines de la dynamique complexe, un domaine défriché par les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia au début du .
La première représentation de cet ensemble apparaît en 1978 dans un article de Robert W. Brooks et Peter Matelski Robert Brooks et Peter Matelski, , in « », ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71 .. Le , au centre Thomas J. Watson de recherche IBM (dans l'État de New York), Benoît Mandelbrot obtient pour la première fois, une visualisation par ordinateur de cet ensemble.. Mandelbrot étudie l'espace des paramètres des polynômes quadratiques complexes dans un article publié en 1980..
En 1984, l'étude de l'ensemble de Mandelbrot commence réellement avec les travaux d'Adrien Douady et de John H. HubbardAdrien Douady et John H. Hubbard, Étude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathématiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)., qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l'ensemble en l'honneur de Mandelbrot.
En 1985, les mathématiciens et Peter Richter popularisent l'ensemble de Mandelbrot par des images de qualité qui frappent les esprits. .. Dans le numéro d' du magazine Scientific American, l'ensemble de Mandelbrot est présenté au grand public comme et présente l'algorithme qui permet de le tracer soi-même. La couverture de ce numéro reprend une image créée par Peitgen.. John Briggs. 1992. ..
Les travaux de Douady et Hubbard coïncidaient avec un intérêt considérable pour la dynamique complexe et l'étude de l'ensemble de Mandelbrot a été le centre d'attention de ce domaine depuis. Parmi les mathématiciens qui apportèrent une contribution significative à l'étude de cet ensemble, il faut citer Tan Lei, Mikhail Lyubich, Curtis Tracy McMullen, John Milnor, et Jean-Christophe Yoccoz. vignette|La première image publiée de l'ensemble de Mandelbrot, par Robert W. Brooks et Peter Matelski en 1978.
Propriétés Définition La théorie générale, développée par Pierre Fatou et Gaston Julia au début du , associe à toute fonction (suffisamment régulière) f(z, c) (à arguments et valeurs complexes) les ensembles de Julia Jc, définis (pour un c fixé) comme la frontière de l'ensemble des a complexes tels que la suite définie par z0 = a et zn+1 = f(zn, c) reste bornée (en module) ; pour la fonction particulière on définit l'ensemble de Mandelbrot M comme l'ensemble des c pour lequel Jc est connexe. Fatou et Julia ont démontré et . que cette définition est équivalente à celle donnée dans l'introduction, c'est-à-dire que c appartient à M si et seulement si la suite (zn) définie par z0 = 0 et zn+1 = zn2 + c reste bornée (en module) ; restant dans les réels, il s'agit donc des points de coordonnées (a,b) tels que les deux suites (xn) et (yn) définies par la récurrence x0 = y0 = 0 et xn+1 = xn2 – yn2 + a ; yn+1 = 2xnyn + b restent bornées.
Barrière du module égal à 2 Si la suite des modules des z est strictement supérieure à 2 pour un certain indice alors, cette suite est croissante à partir de cet indice, et elle tend vers l'infini.
Par inégalité triangulaire, |z| = |z + c| ≥ |z| – |c| (*).
Soit α la racine positive de l'équation α = α – |c|. Alors, α ↦ |c| est une bijection croissante de sur , et (|c| > α ⇔ α > 2 ⇔ |c| > 2).
En posant x = |z| – α, (*) devient α + x ≥ (α + x) – |c| = α + 2αx + x, d'où x ≥ 2αx.
Par conséquent si, pour un certain indice k, x > 0 alors, à partir de cet indice, la suite (x) croît plus vite qu'une suite géométrique.
Cette condition équivaut à |z| > α donc a lieu en particulier : pour |c| > 2, dès que k = 1 (car |c| > 2 ⇒ |z| = |c| > α) ; mais aussi, pour |c| ≤ 2, dès que |z| > 2 (car |c| ≤ 2 ⇒ α ≤ 2).
Pour que la suite (z) soit bornée, il suffit donc qu'elle ne tende pas vers l'infini, et il faut qu'elle reste bornée par 2 (en module). Ceci fournit deux définitions de l'ensemble de Mandelbrot équivalentes à celle donnée en introduction, et prouve de plus que cet ensemble est inclus dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 2.
Géométrie élémentaire vignette|Géométrie élémentaire. L'ensemble M de Mandelbrot est compact, symétrique par rapport à l'axe réel et contient le disque fermé de centre 0 et de rayon 1/4.
Son intersection avec l'axe réel est le segment [–2, 1/4].
Notons (z(c)) la suite associée à un complexe c et pour tout entier n > 0, M l'ensemble des points c pour lesquels |z(c)| ≤ 2. D'après le paragraphe ci-dessus, M est l'intersection de la suite des M (on peut, accessoirement, en déduire aussi que cette suite est décroissante). Or M est un disque fermé donc un compact du plan, et chaque M est fermé, comme image réciproque de M par la fonction polynomiale c ↦ z(c). Il en résulte que M est compact.
Les fonctions c ↦ z(c) étant des polynômes à coefficients réels, tous les M ainsi que M sont stables par conjugaison complexe, ce qui se traduit géométriquement par la symétrie des M et de M par rapport à l'axe réel.
Si |c| ≤ 1/4 alors, par récurrence, |z(c)| ≤ 1/2 pour tout n donc c appartient à M.
Il reste à élucider la situation si c est un réel tel que 1/4 < |c| ≤ 2. si –2 ≤ c ≤ 0 (autrement dit si c + c ≤ – c) alors, par récurrence, c ≤ z(c) ≤ – c pour tout n donc c appartient à M. pour tout réel c, z(c) – z(c) ≥ c – 1/4 donc si c > 1/4 alors c n'appartient pas à M.
Remarque. Toutes les racines des polynômes c ↦ z(c) sont dans M. En effet, si z(c) = 0 alors la suite des z(c) est de période r donc bornée.
Son aire est estimée autour de ± ..
Son centre de gravité est estimé à la position réelle –0,286 768 3 ± 0,000 000 1.
La principale structure remarquable est la cardioïde centrale, de centre et d'équation polaire . On peut aussi citer le disque de centre et de rayon .
Connexité Douady et Hubbard ont montré, en 1985., que l'ensemble est simplement connexe. Ce résultat n'était pas évident à l'observation des premiers tracés de Mandelbrot, qui faisait apparaître des « îlots » semblant détachés du reste. Pour ce faire, ils ont montré que le complémentaire de l'ensemble de Mandelbrot est conformément isomorphe au complémentaire dans ℂ du disque unité.
On conjecture que l'ensemble de Mandelbrot est localement connexe.http://www.math.cornell.edu/~hubbard/OrsayFrench.pdf..
Autosimilarité
gauche|vignette|upright=1.2|Autosimilarité autour d'un point de Misiurewicz −0,1011 + 0,9563i.
gauche|vignette|Autosimilarité près du point de Feigenbaum -1,401155. droite|vignette|upright=1.5|Des copies de l'ensemble dans l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble de Mandelbrot est autosimilaire dans le voisinage des points de Misiurewicz. Ces points sont denses sur toute la frontière de l'ensemble. On conjecture qu'il est également autosimilaire, à la limite, autour des points de Feigenbaum (ex. : −1,401 155 ou −0,152 8 + 1,039 7 i) J. Milnor, « », dans , M. Tangora (éditeur), Dekker, New York, ..
Des versions réduites de l'ensemble de Mandelbrot apparaissent sur toute sa frontière, jusqu'à des grossissements infinis, avec de légères différences Curtis T. McMullen, « », 1998, abstract., mais l'ensemble de Mandelbrot n'est pas, en général, strictement autosimilaire.
Universalité L'ensemble de Mandelbrot M a un caractère universel pour de nombreuses fonctions holomorphes. Des copies de M sont visibles sur les frontières de leurs bassins d'attraction, c'est-à-dire des ensembles des c pour lesquels les itérés f(f(…f(z)))) convergent vers un complexe donné. En voici quelques exemples, avec des fonctions transcendantes : (fonction cosinus) (fonction de Gauss)
On retrouve également M lors de l'itération d'une famille de fonctions cubiques telles que , par la méthode de Newton. L'ensemble des points ne convergeant pas vers une racine de ce polynôme prend la forme de M.
Là encore, l'autosimilarité n'est pas stricte (il n’y a pas de similitude exacte avec M), mais il existe une déformation de faible amplitude entre M et ces copies.
Dimension de Hausdorff La dimension de Hausdorff de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot vaut 2. Ce résultat a été démontré en 1990 par Mitsuhiro Shishikura Mitsuhiro Shishikura, « », Ann. of Math., vol. 147, 1998, (publication originale de 1991 Stony Brook IMS Preprint, ).. On ne sait pas si cette frontière a une aire (définie par la mesure de Lebesgue) positive.
Lien avec l'équation logistique vignette|Correspondance entre l'ensemble de Mandelbrot et le diagramme de bifurcation de l'équation logistique. Les paramètres de M, dans l'intervalle réel [–2, 1/4], peuvent être mis en correspondance bijective avec ceux de l'équation logistique : la correspondance étant donnée par :
Lien avec les ensembles de Julia
L'ensemble de Mandelbrot M peut être défini comme l'ensemble des complexes c pour lesquels l'ensemble de Julia correspondant, J, est connexe. Mais, plus précisément, on a (à la limite) identité entre J et M au voisinage de c, lorsque c appartient à la frontière de M Tan Lei, « Lei.pdf », Comm. Math. Phys., vol. 134, 1990, .. Ainsi, il y a une correspondance proche entre la géométrie de l'ensemble de Mandelbrot à un point donné et la structure de l'ensemble de Julia lui correspondant. Par exemple, un point est dans l'ensemble de Mandelbrot exactement là où l'ensemble de Julia correspondant est connexe.