La cinématique du point est l'étude du mouvement d'un point matériel indépendamment des causes de ce mouvement. Elle permet d'étudier les relations entre les paramètres permettant de décrire le mouvement (position, vitesse, accélération...) et leurs expressions ou transformations dans divers systèmes de coordonnées ou en cas de changement de référentiel.
Elle constitue un sous-domaine de la cinématique, restreinte au seul point matériel, qui est elle-même une branche de la mécanique. Si étudier le mouvement d'un corps indépendamment de ses causes peut paraître artificiel, les concepts et outils de la cinématique du point sont en fait indispensables pour aborder les autres branches de la mécanique. De fait, elle constitue le plus souvent les premiers chapitres des cours de mécanique du point, avant la dynamique ou l'énergétique.
Concepts fondamentaux de la cinématique du point matériel La cinématique du point permet d'introduire les concepts fondamentaux permettant de décrire le mouvement d'un corps matériel, en commençant par le cas le plus simple, celui du point matériel.
Notion de point matériel
La notion de point matériel (en anglais point particle) correspond à une idéalisation: on considère que le corps matériel dont on veut décrire le mouvement se réduit à un point géométrique (noté M), auquel on associe la masse m de ce corps (ainsi que sa charge électrique q, le cas échéant). En fait, ce modèle revient à s'abstraire de la forme géométrique du corps, de la répartition en son sein de sa masse ou de sa charge électrique, etc. Le seul paramètre mécanique conservé est celui de masse, qui en fait n'intervient pas en cinématique dans la mesure où la question des causes du mouvement ne se pose pas.
Cette approximation, qui peut sembler très sommaire, peut pourtant être utilisée dans deux cas très importants en pratique: si les dimensions du corps matériel "réel" sont très petites devant la distance parcourue au cours du mouvement: ainsi le mouvement de révolution dans le référentiel héliocentrique de la Terre (ou des autres planètes) peut être correctement décrit en assimilant cette dernière à un point matériel, puisque le diamètre de la Terre ( environ) est très petit devant la distance parcourue au cours de son mouvement (près de 1 milliard de km). pour décrire le mouvement "d'ensemble" d'un système matériel "étendu", comme un solide, que l'on ne peut assimiler à un point matériel, mais dont le mouvement peut se décomposer en celui d'un point matériel matériel particulier, le centre d'inertie, affecté de la masse totale du solide, et le mouvement propre, par rapport à un référentiel lié au centre d'inertie. Par exemple, un ballon de rugby lancé pour marquer un but: son centre d'inertie va décrire une courbe assez simple, proche d'un arc de parabole, tandis que le plus souvent le ballon possède en général un mouvement de rotation complexe pendant ce mouvement.
Référentiel, repère d'espace, repère de temps ou horloge
Le mouvement a un caractère relatif : avant de pouvoir le décrire il faut donc préciser "par rapport à quoi" on considère le déplacement du point matériel, c’est-à-dire le référentiel d'étude. Par définition, un référentiel est la donnée d'un corps matériel, réel ou imaginaire, dit parfois solide de référence, par hypothèse considéré comme immobile, auquel sont associés un repère d'espace, c'est-à-dire un système de coordonnées lié rigidement au solide de référence, permettant de déterminer les positions successives du point matériel étudié, et un repère de temps ou horloge.
En mécanique newtonienne, le temps en considéré comme absolu, c'est-à-dire identique dans tous les référentiels. Aussi deux "horloges" associées à deux référentiels différents auront la même marche, c'est-à-dire que le temps s'écoulera "à la même vitesse" dans chacun des deux référentiels. Toutefois, chaque horloge pourra varier par le choix de son "origine des dates", qui correspond par définition à , instant choisi comme point de départ de la mesure du temps.
Par exemple, dans l'étude du mouvement d'une personne assise dans un train en marche, il est possible de considérer deux référentiels : celui lié au rail (ou au quai de la gare, au sol...), dans lequel le voyageur est en mouvement, et celui lié au wagon dans lequel il se trouve, dans lequel il est au repos.
Cas particuliers importants de référentiels : référentiel terrestre local (dit parfois "du laboratoire") : il s'agit d'un référentiel lié à un point quelconque de la Terre. C'est celui qui est en général utilisé pour parler du mouvement dans la vie quotidienne. En fait, il existe une infinité de tels référentiel, et c'est par abus de langage que l'on parle du "référentiel terrestre", car en toute rigueur il conviendrait de parler du référentiel terrestre lié à tel point de la Terre. Ce type de référentiel est lié rigidement à la Terre et donc est "entraîné" avec elle dans ses mouvements de rotation propre et de révolution autour de Soleil. référentiel géocentrique : il s'agit d'un référentiel lié au centre d'inertie de la Terre, et auquel on associe un repère d'espace dont l'origine est en ce point et dont les axes pointent vers trois étoiles considérées comme fixes. Ce référentiel n'est pas lié rigidement à la Terre : par rapport à celui-ci, la Terre possède un mouvement de rotation autour de l'axe des pôles d'une durée de 23 heures 56 minutes 4 secondes (rotation sidérale). : il s'agit d'un référentiel lié au centre d'inertie du Soleil, le repère d'espace associé de même origine ayant là aussi ses axes pointant vers trois étoiles considérées comme immobiles. Par rapport à ce référentiel, la Terre, assimilée à un point matériel, possède un mouvement de révolution, décrivant avec une très grande approximation une ellipse, de période 365,26 jours. : il s'agit d'un référentiel lié au centre de masse du système solaire, dont les axes du repères d'espace sont parallèles à celui du référentiel de Kepler.
Description du mouvement du point matériel Vecteur position et trajectoire Étant donné un référentiel donné, noté (R), dont le repère d'espace a pour origine un point O, et par rapport auquel on étudie le mouvement du point matériel M, la position de ce point à un instant t quelconque est donnée par le vecteur position : , (1).
La notation détaillée , n'est utile que lorsqu'il peut y avoir ambiguïté sur le point matériel considéré et/ou le référentiel d'étude, seule la notation simplifiée est utilisée en général.
Le vecteur position varie au cours du mouvement et l'ensemble des positions successives au cours du temps de son extrémité M forme une courbe appelée trajectoire du point matériel M. La forme de la trajectoire dépend du référentiel d'étude.
En utilisant pour le repère d'espace les coordonnées cartésiennes, de base orthonormale associée le vecteur position se décompose en ses composantes . La données des fonctions constitue les équations horaires du mouvement. Celles-ci peuvent être obtenues par intégration des équations du mouvement, que ce soit sous forme analytique ou numérique.
Léquation de la trajectoire s'obtient en éliminant t entre les différentes équations horaires, ce qui n'est pas toujours en pratique possible.
Trièdre de Serret-Frenet - Description intrinsèque
Il est intéressant d'introduire un repère spécifique, appelé trièdre de Serret-Frenet (ou repère de Frenet) permettant d'exprimer de façon intrinsèque, c'est-à-dire indépendamment d'un système de coordonnées particulier, les grandeurs cinématiques que sont la vitesse et l'accélération.
Il s'agit d'un repère mobile avec le point P, position de M à un instant donné, orthonormé, de vecteurs de base , qui sont définis à partir de considérations géométriques sur la trajectoire. En effet une trajectoire donnée peut être du point de vue de la géométrie décrite comme un arc orientéDans le cas général il s'agit d'un arc gauche., le sens d'orientation étant celui du déplacement du point matériel. thumb|Illustration des notions de tangente, cercle osculateur, centre et rayon de courbure à une trajectoire en un point P donné de celle-ci. En un point P donné de la trajectoire il est possible de définir les éléments suivants (cf. figure ci-contre) la tangente en ce point à la trajectoire: par définition le vecteur vecteur unitaire de cette tangente en P, orienté dans le sens du mouvement; le cercle osculateur en P à la trajectoire: il s'agit du cercle qui est le plus proche (qui représente le mieux) la courbe en P, il est unique. Son centre C et son rayon R sont respectivement le centre de courbure et rayon de courbure de la trajectoire au point P. Par définition, le vecteur de base , ou normale, est le vecteur unitaire normal à la trajectoire en P, perpendiculaire en ce point à , et orienté vers le centre de courbure C; le vecteur de base , ou binormale, vecteur unitaire de la direction perpendiculaire au plan du cercle osculateur en P, défini par , et orienté de telle sorte que soit un trièdre direct, donc . Ce vecteur a en pratique peu d'importance en cinématique.
Pour une trajectoire rectiligne, le rayon de courbure est infini en tout point de celle-ci, et le trièdre de Serret-Frenet n'est pas défini. Toutefois dans ce cas trivial, la tangente à la trajectoire a une direction confondu avec celle-ci et il est possible de définir le vecteur tangent .
Pour une trajectoire circulaire, le rayon de courbure est constant et égal au rayon de la trajectoire, le centre de courbure étant le centre du cercle représentant la trajectoire.
Vecteur vitesse La vitesse moyenne entre deux positions successives M et M du point matériel se définit comme le rapport entre la distance MM parcourue et la durée entre ces deux instants. Il s'agit d'une grandeur scalaire. En considérant des instants de plus en plus rapprochés, et donc en passant à la limite , il serait possible de définir une vitesse instantanée à l'instant t du point matériel. Toutefois cette grandeur scalaire, qui correspond à la "vitesse" (en anglais speed) de la vie courante est insuffisante en cinématique, il est préférable de définir une grandeur vectorielle appelée vecteur vitesse (en anglais ).
Celui-ci est par définition la dérivée temporelle du vecteur position, évaluée dans le référentiel d'étude: Il s'agit là de la définition de la dérivée vectorielle, comme limite du vecteur "vitesse moyenne" pendant la durée Δt quand cette durée tend vers zéro..
Ainsi en physique la vitesse est caractérisée tant par sa valeur v (laquelle correspond à la notion courante de vitesse), que par sa direction (et son sens). Il est facile de montrer que cette dernière est celle de la tangente à la trajectoire au point M, puisqu'en vertu de la définition précédente, quand Δt → 0, l'arc de trajectoire tend vers la direction de la tangente en M à la trajectoire, et il en est donc de même du vecteur , le sens du vecteur vitesse étant celui du mouvement.
En utilisant pour le repère d'espace les coordonnées cartésiennes, le vecteur vitesse se décompose en ses composantes , où , etc.
La notion d'abscisse curviligne peut être introduite à ce stade pour donner une interprétation plus physique de la notion de vecteur vitesse. D'après la définition de ce dernier il vient: ,
qui correspond au vecteur déplacement infinitésimal pendant dt sur la trajectoire décrite par le point matériel. Sa norme correspond donc à la distance parcourue pendant dt par le mobile le long de la trajectoire. Par définition l'abscisse curviligne correspond à la distance parcourue par le mobile entre une date (et donc une position) choisie pour origine de l'abscisse et la date t, soit: , ce qui implique , ainsi la valeur de la vitesse correspond bien à la notion courante de vitesse, comme variation instantanée de la distance parcourue. Cette valeur ne dépend évidemment du choix de l'origine de l'abscisse curviligne.