vignette|Fonction theta de Jacobi avec et Par convention (mathematica) : soit encore: par changement de variable. En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.
Les fonctions thêta les plus courantes sont celles qui apparaissent en théorie des fonctions elliptiques. Elles vérifient par rapport à l'une de leurs variables (traditionnellement ) certaines relations fonctionnelles qui traduisent les formules d'addition des périodes des fonctions elliptiques associées (quelquefois appelée quasi-périodicité, à ne pas confondre avec la notion homonyme en dynamique).
Fonction thêta de Jacobi La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. C'est la somme totale de la série
qui n'est définie que lorsque décrit le plan complexe et le demi-plan de Poincaré des complexes de partie imaginaire strictement positive.
Cette fonction est périodique en la variable , de période 1. Autrement dit elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :
Cela se vérifie directement, car à fixé, la série définissant la fonction thêta a la forme d'une série de Fourier.
La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par et satisfait l'équation fonctionnelle
où et sont des entiers.
Fonctions auxiliaires Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire
Cette notation suit celle de Riemann et de Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en termes du nome plutôt que , et thêta appelé , nommé , nommé et appelé .
Si on fixe dans les fonctions thêta précédentes, on obtient quatre fonctions de seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir différentes formes modulaires, et pour paramétrer certaines courbes.
Identités de Jacobi Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta se comportent sous l'action du groupe modulaire. En posant ,
alorsVoir aussi : . ,
,
,
. En particulier, l'identité de Jacobi est définie par la formule suivante :
La somme des puissances quatrièmes des fonctions thêta auxiliaires est égale à la puissance quatrième de la fonction thêta principale. Cette formule donne un paramétrage de la courbe de Fermat de degré quatre. L’identité de Jacobi apparaît également comme une combinaison de trois relations quadratiques :
La combinaison de ces trois formules donne la formule suivante :
Représentations de produits La fonction thêta de Jacobi peut être exprimée comme un produit, à travers le théorème du triple produit de Jacobi :
Les fonctions auxiliaires ont les expressions, avec :
Représentations intégrales Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :
Identité de base Les fonctions dites ont les représentations en séries et en produits infinis suivantes :
La fonction thêta satisfait la relation de base suivante avec la fonction q, connue aussi en anglais comme le "nome elliptique" :
Les deux formules suivantes définissent l'intégrale elliptique complète du premier type et s'accordent l'une avec l'autre.
Relation avec la fonction zêta de Riemann On peut noter qu'en utilisant la formule sommatoire de Poisson et en sachant que est sa propre transformée de Fourier, on obtient . Cette relation a été utilisée par Riemann pour établir l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, en montrant que l'intégrale
est invariante par substitution de s par 1 – s. L'intégrale correspondante pour z différent de zéro est donnée dans l'article sur la fonction zêta de Hurwitz.
Relation avec la fonction elliptique de Weierstrass La fonction thêta a été utilisée par Jacobi pour construire (dans une forme adaptée pour un calcul facile) ses fonctions elliptiques comme des quotients des quatre fonctions thêta précédentes, et il aurait pu l'utiliser pour construire aussi les fonctions elliptiques de Weierstrass, puisque
,
où la constante c est définie comme le développement de Laurent de à ne possédant aucun terme constant.
Certaines relations avec les formes modulaires Avec la fonction êta de Dedekind, on a l'égalité .
Comme solution de l'équation de la chaleur La fonction thêta de Jacobi est l'unique solution de l'équation de la chaleur à une dimension avec des conditions aux limites périodiques au temps zéro. Ceci est plus facile à voir en prenant réel, et en prenant avec réel et positif. Alors, on peut écrire
qui résout l'équation de la chaleur
Le fait que cette solution soit unique peut être vu en notant qu'à , la fonction thêta devient le peigne de Dirac :
où est la fonction δ de Dirac. Ainsi, la solution générale peut être précisée en juxtaposant la condition aux limites (périodique) à avec la fonction thêta.
Relation avec le groupe de Heisenberg La fonction thêta de Jacobi peut être pensée comme le prolongement d'une représentation du groupe de Heisenberg en mécanique quantique, quelquefois appelée la . Ceci peut être vu en construisant le groupe explicitement. Soit une fonction holomorphe, soit et des nombres réels, et on fixe une valeur de . Alors, on définit les opérateurs et tels que
et
On peut voir que
et
mais S et T ne commutent pas :
Ainsi, il apparait que S et T ensemble avec une phase unitaire forme un groupe de Lie nilpotent, le groupe de Heisenberg (réel continu), paramétrable par où est le groupe unitaire. Un élément de groupe général alors agit sur une fonction holomorphe comme
où . On peut remarquer que est à la fois le centre de H et le groupe dérivé [H, H].
On définit le sous-groupe comme
Alors, on voit que la fonction thêta de Jacobi est une fonction entière de z qui est invariante sous , et l'on peut montrer que la fonction thêta de Jacobi est une telle fonction unique.
La représentation thêta ci-dessus du groupe d'Heisenberg peut être reliée à la représentation canonique de Weyl du groupe d'Heisenberg comme suit. On fixe une valeur pour et on définit une norme sur les fonctions entières du plan complexe comme
Soit l'ensemble des fonctions entières f de norme finie. On peut noter que est un espace hilbertien, que est unitaire sur , et que est irréductible sous cette action. Alors et L2(R) sont isomorphes comme , où H agit sur comme
pour et .
Voir aussi le pour plus de développements sur ces idées.
Généralisations Si F est une forme quadratique de n variables, alors la fonction thêta associée avec F est
avec la somme s'étendant sur le réseau des entiers ℤ. Cette fonction thêta est une forme modulaire de poids n/2 (sur un sous-groupe défini de manière approprié) du groupe modulaire. Dans le développement de Fourier,
les nombres sont appelés les nombres de représentation de la forme. Fonction thêta de Ramanujan
Fonction thêta de Riemann Soit
l'ensemble des matrices carrées symétriques dont la partie imaginaire est définie positive ; , appelé le , est l'analogue multi-dimensionnel du demi-plan de Poincaré. L'analogue n-dimensionnel du groupe modulaire est le groupe symplectique Sp(2n, Z) ; pour n = 1, Sp(2, Z) = SL(2, Z). L'analogue (n – 1)-dimensionnel des est .
Alors, étant donné , la fonction thêta de Riemann est définie par
Ici, est un vecteur complexe n-dimensionnel, et l'exposant T désigne la transposition. La fonction thêta de Jacobi est alors un cas particulier, avec n = 1 et où est le demi-plan de Poincaré.
Valeurs de fonction
Valeurs lemnismatiques Le tableau suivant donne les valeurs lemnistiques des fonctions et : x Valeurs supplémentaires pour :
Et avec la lettre grecque le nombre d'or est affiché. L'abréviation représente la constante de Gauss, qui est le quotient de la constante de lemniscate divisé par le nombre de cercle . Les valeurs qui viennent d'être présentées ont été étudiées par le mathématicien sud-coréen Jinhee Yi de l'Université nationale de Pusan (부산 대학교). Leurs résultats ont ensuite été publiés dans le Journal of Mathematical Analysis and Applications.
De plus, les valeurs suivantes s'appliquent :
Ces deux valeurs peuvent être déterminées directement à l'aide de la Formule sommatoire de Poisson :
Valeurs équianharmoniques La fonction a ces valeurs de fonction équianharmonique :
Certaines valeurs équianharmoniques de la fonction thêta ont été étudiées notamment par les mathématiciens Bruce Carl Berndt et Örs Rebák.
Valeurs thêta sur les factorielles des huitièmes Valeurs de fonction de la forme :
Équations quintiques
Solution de la forme Bring-Jerrard Selon le Théorème d'Abel-Ruffini, l'équation quintique générale ne peut pas être résolue sous forme radicale élémentaire. Mais une solution générale est tout à fait possible à l'aide de fonctions elliptiques. Avec la fonction thêta, le cas général de l'équation quintique peut également être résolu en fonction du Nome elliptique q à partir d'un module elliptique toujours "élémentaire" selon les coefficients. Pour l'équation quintique suivante sous forme de Bring-Jerrard, la solution générale peut être représentée sous forme simplifiée par la fonction thêta :
Pour toutes les valeurs réelles a la somme indiquée de la cinquième fonction de puissance et de la fonction de mappage identique pour selon exactement une vraie solution. Et cette solution réelle peut pour toutes les valeurs réelles peut être explicitée exactement correctement avec l'algorithme suivant : +Métjode de résolution des équations quintiques par la fonction thetaÉquation de Bring–Jerrard :Valeur de la fonction elliptique "Nomen q":La vraie solution pour :
Trois exemples de calcul Dans ce qui suit, trois équations sont traitées comme des exemples, qui peuvent être résolues avec la fonction thêta de Jacobi, mais ne peuvent pas du tout être résolues avec des expressions de racine élémentaire :
La même procédure est également réalisée dans l'équation suivante :
Voici un troisième exemple :
Voir aussi Articles connexes
Fausse fonction thêta Fonction thêta de Riemann–Siegel
Bibliographie , section 16.27ff. , traduit en anglais dans AMS Translations of Mathematical Monographs, vol. 79, 1990
Lien externe Product representations of Jacobi functions, Jacobi's identity for functions et Integral representations of Jacobi functions de PlanetMath
Notes et références
Catégorie:Théorie analytique des nombres Theta Theta