En arithmétique, les nombres premiers de Pierpont — nommés ainsi d'après James Pierpont — sont les nombres premiers de la forme 23 + 1, pour u et v deux entiers naturels.
On montre facilement que si v = 0 et u > 0, alors u doit être une puissance de 2, c'est-à-dire que 2 + 1 doit être un nombre de Fermat.
Par ailleurs, si v > 0 alors u doit être lui aussi non nul (car si v > 0 alors le nombre pair est strictement supérieur à 2 et par conséquent composé) donc le nombre de Pierpont est de la forme 6k + 1.
Les quinze premiersPour les 8 396 premiers, voir . nombres de Pierpont sont 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257 et 433.
Distribution des nombres premiers de Pierpont Andrew Gleason a conjecturé qu'il y a une infinité de nombres premiers de Pierpont. Ils ne sont pas particulièrement rares et il y a peu de restrictions par rapport à la factorisation algébrique ; il n'y a donc pas de conditions comme la primalité de l'exposant dans les nombres de Mersenne premiers. Il y a 36 nombres premiers de Pierpont inférieurs à 10, 59 inférieurs à 10, 151 inférieurs 10 et 789 inférieurs à 10 ; conjecturellement, il y a O(log N) premiers de Pierpont plus petits que N, en comparaison de la conjecture O(log log N) premiers de Mersenne plus petits que N.
Les nombres de Pierpont connus en tant que facteurs de nombres de Fermat Dans le cadre de la recherche internationale de facteurs premiers de nombres de Fermat, des nombres premiers de Pierpont ont été annoncés comme tels. La table suivanteWilfrid Keller, Fermat factoring status. donne des valeurs de m, v et u tels que
+m v u année de découverte Chercheurs38 1 41 1903 Cullen, Cunningham & Western63 2 67 1956 Robinson207 1 209 1956 Robinson452 3 455 1956 Robinson9 428 2 9 431 1983 Keller12 185 4 12 189 1993 Dubner28 281 4 28 285 1996 Taura157 167 1 157 169 1995 Young213 319 1 213 321 1996 Young303 088 1 303 093 1998 Young382 447 1 382 449 1999 Cosgrave & Gallot461 076 2 461 081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot672 005 3 672 007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot2 145 351 1 2 145 353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot2 478 782 1 2 478 785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot2 543 54822 543 5512011S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
De 2008 à 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2 + 1Chris Caldwell, The largest known primes at The Prime Pages., dont la primalité fut prouvée par en 2003 avec un logiciel de Paul Jobling, George Woltman, et Yves GallotProof-code: g245 at The Prime Pages.. En 2014, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2 + 1 Official announcement of discovery of 3 × 2 + 1, PrimeGrid., mais il ne fait pas partie de la liste des diviseurs connus d'un nombre de Fermat.
En mathématiques des origamis, les axiomes de Huzita définissent six des sept types de pliage possibles. Ces pliages sont suffisants pour permettre de former n'importe quel polygone régulier dont le nombre de côtés est supérieur ou égal à 4 et de la forme 23ρ, où ρ est le produit de nombres premiers de Pierpont distincts. Ces polygones réguliers sont que ceux que l'on peut construire au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle.. Les polygones réguliers qui peuvent être construits avec seulement un compas et une règle correspondent au cas spécial où n = 0 et ρ est le produit de nombres premiers de Fermat distincts, eux-mêmes un sous-ensemble des nombres premiers de Pierpont.
Le plus petit nombre premier qui ne soit pas un nombre premier de Pierpont (ou de Fermat) est 11, donc le hendécagone est le plus petit polygone régulier qui ne peut pas être construit au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Tous les autres n-gones réguliers avec 3 ≤ n ≤ 21 peuvent être construits au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle (si besoin).
Notes et références
Catégorie:Nombre premier