La mécanique des fluides numérique (MFN), plus souvent désignée par le terme anglais (CFD), consiste à étudier les mouvements d'un fluide, ou leurs effets, par la résolution numérique des équations régissant le fluide. En fonction des approximations choisies, qui sont en général le résultat d'un compromis en termes de besoins de représentation physique par rapport aux ressources de calcul ou de modélisation disponibles, les équations résolues peuvent être les équations d'Euler, les équations de Navier-Stokes, etc.
La MFN a grandi d'une curiosité mathématique pour devenir un outil essentiel dans pratiquement toutes les branches de la dynamique des fluides, de la propulsion aérospatiale aux prédictions météorologiques en passant par le dessin des coques de bateaux. Dans le domaine de la recherche, cette approche est l'objet d'un effort important, car elle permet l'accès à toutes les informations instantanées (vitesse, pression, concentration) pour chaque point du domaine de calcul, pour un coût global généralement modique par rapport aux expériences correspondantes.
Historique
Méthodologie vignette|Maillage d'une automobile.
De manière générale, la résolution d'un problème de MFN passe par trois grandes phases : la préparation du problème : ceci passe par la définition d'une géométrie, d'un maillage discrétisant le domaine de calcul, du choix des modèles et méthodes numériques employés ; la résolution numérique du problème qui passe par l'exécution d'un programme informatique. Bien des problèmes suscitant un minimum d'intérêt nécessitent des ordinateurs aux très grandes capacités ; l'exploitation des résultats : on vérifie d'abord leur cohérence, puis ils sont examinés afin d'apporter des réponses aux questions posées par le problème de MFN de départ.
L'exploitation des résultats passe le plus souvent par des logiciels de post-traitement scientifique utilisés dans de nombreuses branches de la physique, ou bien par les modules de post-traitement disponibles dans certains logiciels de MFN commerciaux.
Méthodes de discrétisation
Méthode des différences finies
La méthode des différences finies a une importance historique et est simple à programmer. Elle n'est actuellement utilisée que dans quelques codes spécialisés.
Méthode des volumes finis
La méthode des volumes finis est une approche commune utilisée dans les codes MFN. Les équations qui régissent le fluide sont résolues sur des volumes de contrôle discret.
Méthode des éléments finis
La méthode des éléments finis (MEF) est utilisée dans l'analyse structurale des solides, mais est également applicable aux fluides. Cependant, la formulation à éléments finis nécessite des soins particuliers pour assurer une solution conservative.
Résolution du problème discrétisé
Forme générale des équations
La méthode consiste à résoudre des équations aux dérivées partielles (ÉDP) dites « équations de transport » ou « de conservation », et dont la forme générale est, pour une quantité scalaire φ donnée :
où φ peut désigner : 1 (le nombre un) dans le cas de l'équation de continuité, les composantes du vecteur vitesse u, v et w, l'enthalpie h ; est le volume concerné et est la surface délimitant ce volume ; dV est le volume d'un élément infinitésimal de et le vecteur aire d'un élément infinitésimal de ; est l'opérateur nabla ; ρ est la masse volumique ; est le vecteur vitesse eulérienne d'une particule fluide ; Dφ est un coefficient de diffusion ; Sφ est un terme source, ou puits.
Discrétisation
Maillage, symétries et périodicités
Le maillage consiste à découper l'espace en cellules appelées « volumes de contrôle ». Le maillage est souvent plus délicat en mécanique des fluides que pour les éléments finis en résistance des matériaux : il faut mailler tout l'espace « vide » (la veine fluide), et les détails de surface ont de l'importance (puisqu'il génèrent des turbulences), on a donc souvent des maillages contenant de nombreuses mailles (typiquement plusieurs millions). Par ailleurs, alors qu'en résistance des matériaux, un maillage hexaédrique de l'espace est une stratégie intéressante (elle permet d'avoir la même qualité de résultats pour un nombre de nœuds plus faibles), en MFN, cela introduit des directions préférentielles qui peuvent avoir une influence sur le résultat (voir ci-après Diffusion numérique).
Dans certains domaines, les pratiques professionnelles imposent parfois un maillage hexaédrique. Sinon, la stratégie retenue est souvent : à proximité des parois, avoir un maillage parallèle à la paroi — hexaédrique ou bien prismatique (hexaèdres coupés en deux) — et de faible épaisseur (trois couches de cellules ayant typiquement avec un facteur y+ de l'ordre de 1, voit ci-après Modèles de turbulence) ; au cœur du volume, avoir un maillage tétraédrique mais n'ayant pas de direction particulière (ce ne sont pas des cubes empilés coupés en deux).
Une manière efficace de réduire la taille du modèle est d'utiliser les symétries et périodicités. Il faut pour cela que le système présente une symétrie ou une périodicité géométrique, y compris les conditions limites. Dans ce cas-là, les champs sortant sur une surface sont appliqués en entrée de la surface correspondante. Toutefois, il est délicat d'évaluer la pertinence de ces hypothèses. Par exemple, une condition de symétrie mal appliquée peut empêcher de voir un effet Coandă.
Des méthodes de maillage, comme le polyhexcore., permettent de générer automatiquement des maillages de qualité et au juste besoin, qui comprennent des couches limites prismatiques à proximité des parois et des mailles parfaitement hexaédriques au cœur de la veine fluide, la transition étant réalisée par mailles polyédriques entre la couche limite et le cœur. Autrefois, il fallait découper « à la main » la géométrie pour obtenir des zones hexaédriques, ce qui pouvait nécessiter beaucoup de temps. Les logiciels permettent également désormais de tirer profit du calcul parallèle pour accélérer la génération du maillage.
Certaines techniques de maillage sont totalement automatiques, sans la moindre intervention humaine, comme celles mises en œuvre dans le logiciel Discovery.. Toutefois, dans ces méthodes, le maillage généré ne contient généralement pas de couches limites et l'utilisateur ne maîtrise plus totalement l'outil, et les performances sont dynamiquement dépendantes des moyens matériels (une même géométrie sera maillée de différentes manières sur des machines différentes, conduisant à des résultats non reproductibles).
Discrétisation spatiale et temporelle des équations
La discrétisation spatiale consiste à remplacer les intégrales par des sommes sur des éléments de volume et de surface correspondant au maillage. Ainsi, pour chaque volume de contrôle (cellule), on peut écrire l'équation, en appliquant le théorème de flux-divergence :
où Δ est l'opérateur laplacien ; ou bien, avec la notation nabla :
La discrétisation temporelle consiste à faire des calculs à des instants déterminés, le résultat de la simulation à un instant ti étant la donnée d'entrée du calcul à l'instant ti + 1. Le pas de temps (ti + 1 − ti) peut être constant ou variable. La discrétion temporelle utilise typiquement la méthode des différences finies.
Cas particuliers
Équation de continuité
En prenant φ = 1, on trouve
Équation de bilan de la quantité de mouvement
En prenant φ = u (composante du vecteur vitesse sur l'axe x de vecteur directeur unitaire ), on trouve
où p est la pression ; [τ] est le tenseur des contraintes dû à la viscosité ; est la flottabilité (poussée d'Archimède).
Équation de la chaleur
En prenant φ = htot (enthalpie totale),
on trouve
où p est la pression ; λ est la conductivité thermique ; T est la température absolue ; est la conduction thermique ; est le travail des forces visqueuses ; est la source d'enthalpie, typiquement la variation d'enthalpie due à un changement d'état (chaleur latente) ou à une réaction chimique (réaction exothermique ou endothermique).
État stationnaire ou transitoire
Un état stationnaire est une situation pour laquelle le terme transitoire est nul ; on néglige donc le premier terme des équations ci-dessus . Il s'agit d'un régime établi, d'un état de fonctionnement « longtemps » après le démarrage du système (ouverture du robinet, démarrage de la turbine) ; le résultat est indépendant du temps, il n'y a pas de discrétisation temporelle. Cette situation simplifie grandement les calculs.
Cependant, cela ne permet pas de prendre en compte des fluctuations des conditions d'entrée ou de sortie, ou bien la description d'un remplissage. Dans ces cas-là, il faut faire un calcul transitoire (« instationnaire »), c'est-à-dire à plusieurs instants successifs.
Si le pas de temps est trop grand, on introduit des erreurs numériques qui se propagent. Par ailleurs, cela peut rendre compliqué la convergence à chaque étape (voir ci-dessous Conditions aux limites). Mais plus le pas de temps est petit, plus le calcul est long et gourmand en ressources. Pour trouver un compromis, on s'attache en général à ce qu'une particule de fluide parcoure moins d'une maille entre chaque pas de calcul, c'est-à-dire à avoir un nombre de Courant, appelé dans le milieu CFL (condition de Courant, Friedrichs et Lewy), en général compris entre 0.1 et 0.6 (parfois plus dans le cas d'une résolution implicite, parfois moins selon l'application) : .
Diffusion numérique
La diffusion numérique est un artefact de calcul lié au maillage. Supposons qu'il y ait deux phases distinctes ; la frontière des phases passe au milieu de volumes de contrôle, la valeur des variables dans les-dits volumes est donc une « moyenne » des valeurs des deux phases. Il se crée donc un gradient artificiel local, puisque les valeurs sont potentiellement très différentes des valeurs des cellules voisines. Ce gradient s'atténue à cause du terme de diffusion des équations ; on se retrouve ainsi avec une frontière « floue », une transition « douce » des valeurs, alors que dans la réalité, il y a une transition abrupte.
Propriétés des matériaux
Les coefficients des équations sont des propriétés des matériaux. Il s'agit en général de valeurs dépendant des conditions de pression et de température : masse volumique ρ : pour un gaz, elle peut dériver de l'équation des gaz parfaits, ou d'un modèle de gaz plus complexe, pour un polymère fondu, on peut utiliser une équation d'état pvT, pour un solide (typiquement un solide immergé), on peut utiliser les modules d'élasticité, et en particulier le module d'élasticité isostatique (incompressibilité), si la variation de pression attendue est faible, on peut supposer que les fluides et solides sont incompressibles et donc que la masse volumique est une constante ; la conductivité thermique λ est une fonction de la température ; si la variation de température attendue est faible, on peut considérer qu'elle est constante ; la viscosité dynamique μ varie en fonction de la température, du taux de cisaillement et parfois de la pression ; on peut utiliser un modèle de type modèle de Cross ou loi d'Ostwald–de Waele ; si les vitesses et les variations de température attendues sont faibles, on peut considérer que c'est une constante.
Conditions aux limites
Pour résoudre les équations aux dérivées partielles, il faut indiquer les conditions aux limites à l'instant initial. Il s'agit en général de définir : sur les parois (le vecteur vitesse est nécessairement parallèle à la paroi) : s'il s'agit d'une paroi parfaitement glissante ou s'il faut prendre en compte la viscosité, la température de paroi et éventuellement le coefficient d'échange thermique si l'on résout l'équation de la chaleur ; sur les surfaces ouvertes : s'il s'agit d'une entrée ou d'une sortie (le flux est à sens unique), ou éventuellement s'il s'agit d'une ouverture dans laquelle le flux peut être dans les deux sens (introduit des instabilités numériques),