La théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple.
Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente. Elle date du début du avec l'axiomatique de Kolmogorov. Des objets tels que les événements, les mesures de probabilité, les espaces probabilisés ou les variables aléatoires sont centraux dans la théorie. Ils permettent de traduire de manière abstraite les comportements ou des quantités mesurées qui peuvent être supposés aléatoires. En fonction du nombre de valeurs possibles pour le phénomène aléatoire étudié, la théorie des probabilités est dite discrète ou continue. Dans le cas discret, c'est-à-dire pour un nombre au plus dénombrable d'états possibles, la théorie des probabilités se rapproche de la théorie du dénombrement ; alors que dans le cas continu, la théorie de l'intégration et la théorie de la mesure donnent les outils nécessaires.
Les objets et résultats probabilistes sont un support nécessaire à la statistique, c'est le cas par exemple du théorème de Bayes, de l'évaluation des quantiles ou du théorème central limite et de la loi normale. Cette modélisation du hasard permet également de résoudre plusieurs paradoxes probabilistes.
Qu'il soit discret ou continu, le calcul stochastique est l'étude des phénomènes aléatoires qui dépendent du temps. La notion d'intégrale stochastique et d'équation différentielle stochastique font partie de cette branche de la théorie des probabilités. Ces processus aléatoires permettent de faire des liens avec plusieurs domaines plus appliqués tels que les modèles mathématiques utilisés pour la prévision météorologique, la mécanique statistique, le traitement d'images, etc.
Historique
vignette|Blaise Pascal, à qui l'on attribue régulièrement des lois de probabilités. Avant que l'étude des probabilités soit considérée comme une science, l'observation du hasard dans les événements naturels a amené les philosophes et les scientifiques à réfléchir sur la notion de liens entre événements, causes et conséquences, et lois de la nature.. Les jeux de hasard, les situations météorologiques ou les trajectoires des astres ont fait partie des domaines étudiés.. Les explications données sont alors liées au destin, à une colère céleste ou à une présence divine.
Il est communément admis que le début de la science des probabilités se situe au avec l'analyse de jeux de hasard par Jérôme Cardan et au avec les discussions entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal au sujet du problème des partis posé par Antoine Gombaud, chevalier de Méré : comment partager les gains quand la partie est interrompue à un moment quelconque. Cette nouvelle théorie est nommée géométrie aléatoire par le chevalier de Méré en 1654, elle est appelée par la suite calcul conjectural, arithmétique politique et plus communément aujourd'hui théorie des probabilités.. Cette théorie, dite des probabilités modernes, est alors étudiée par de nombreux penseurs jusqu'au : Kepler, Galilée, Leibniz, Huygens, Halley, Buffon, les frères Bernoulli, Moivre, Euler, D'Alembert, Condorcet, Laplace, Fourier... Elle est principalement basée sur les événements discrets et la combinatoire.
Au début du , Kolmogorov fit la connexion entre la théorie de la mesure de Borel, la théorie de l'intégration de Lebesgue et les probabilités.
Des considérations analytiques ont forcé l'introduction de variables aléatoires continues dans la théorie. Cette idée prend tout son essor dans la théorie moderne des probabilités, dont les fondations ont été posées par Andreï Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov combina la notion d'univers, introduite par Richard von Mises et la théorie de la mesure pour présenter son système d'axiomes pour la théorie des probabilités en 1933. Très vite, son approche devint la base incontestée des probabilités modernes.
Le voit également le développement de l'application de la théorie des probabilités dans plusieurs sciences.
Avec la mécanique newtonienne, la théorie du champ électromagnétique ou la thermodynamique, la physique classique est la théorie utilisée jusqu'à la fin du . En 1929, Erwin Schrödinger étudie l'équation qui détermine l'évolution d'une onde au cours du temps : l'équation de Schrödinger. Max Born utilise cette équation pour décrire une collision entre des particules telles que des électrons ou des atomes. Les observations de ses expériences l'amène à supposer que la fonction d'onde est la probabilité que la particule soit détectée en un point de l'espace. C'est le début d'une nouvelle approche de la physique quantique..
En 1900, Louis Bachelier fut un des premiers mathématiciens à modéliser les variations de prix boursiers grâce à des variables aléatoires.. « le marché n'obéit qu'à une seule loi : la loi du hasard ». Bachelier utilise alors le calcul stochastique pour étudier les variations boursières au cours du temps. En 1970, Fischer Black et Myron Scholes reprennent les idées de Bachelier pour modéliser les rendements d'une action grâce à leur modèle Black-Scholes.
L'utilisation des probabilités en biologie a pris un essor dans les années 1970., notamment dans l'étude de l'évolution des espèces. La reproduction des individus est modélisée par un choix aléatoire des gènes transmis ainsi que des mutations apparaissant de manière aléatoire sur les individus. L'extinction des espèces ou des gènes est alors étudiée en fonction des effets stochastiques.
Définition Suivant les époques ou les domaines d'application, la théorie des probabilités peut prendre des noms différents : la théorie de la probabilité mathématique., le calcul des probabilités., ou plus simplement les probabilités bien qu'il ne faille pas confondre avec une probabilité qui est une loi (ou mesure) de probabilité ou la probabilité d'un événement qui est l'évaluation de son caractère probable. Pour ce dernier terme, voir les différentes approches d'une probabilité.
La théorie des probabilités a évolué au cours de son existence. Dans son cours vers 1893, Henri Poincaré s'exprime ainsi : « On ne peut guère donner de définition satisfaisante de la Probabilité. On dit généralement ... etc. ».. Cependant, il est toujours fait mention de l'étude de notions comme le hasard, l'aléa, la chance ou encore le caractère probable d'un événement. Une définition peut être donnée sous la forme : La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitudeEn anglais : Probability theory is a branch of mathematics concerned with the analysis of random phenomena, dans .. C'est-à-dire que la théorie des probabilités est un domaine des mathématiques. Ce n'a pas toujours été le cas, cette théorie a été rattachée à la théorie des jeux de hasard., à la philosophie., les géomètres ont été parmi les premiers scientifiques à utiliser le calcul des probabilités.. Il est à noter que le groupe mathématique Bourbaki, créé en 1930 et dont le but est de proposer une présentation cohérente des mathématiques, a été critiqué pour ne pas avoir pris suffisamment en considération la théorie des probabilités : « Bourbaki s'est écarté des probabilités, les a rejetées, les a considérées comme non rigoureuses et, par son influence considérable, a dirigé la jeunesse hors du sentier des probabilités. » soulignait Laurent Schwartz dans son autobiographie..
Axiomatique
Pour pleinement appartenir aux mathématiques, la théorie des probabilités a eu besoin d'une axiomatique. Plusieurs constructions sont proposées au début du comme la théorie des collectifs de Richard von Mises ou l'axiomatique d’Andreï Kolmogorov. Cette dernière étant la plus pratique des axiomatiques disponibles à l'époque a été adoptée définitivement par les scientifiques à partir de 1950.. Elle a permis d'étudier le calcul des probabilités au-delà des probabilités finies, dites théorie discrète des probabilités et de considérer un cadre plus général pour la théorie des probabilités. Dans cette axiomatique, la théorie des probabilités est basée sur un espace probabilisé et ainsi beaucoup de notions correspondent à des notions de la théorie de l'intégration.. Cependant dans la théorie des probabilités, le but est de proposer un modèle prédictif pour une expérience aléatoire. Un ensemble, souvent noté , donne la liste de tous les résultats que l'on pourrait obtenir si on réalisait l'expérience. Cet ensemble, dont les éléments sont appelés « éventualités » ou « cas possibles » ou « issues » est également appelé univers (ou champ) des possibles. Un ensemble dont les éléments sont tous les événements liés à l'expérience, chaque événement regroupant les éventualités pour lesquelles une certaine propriété est vérifiée. Ces événements, qui peuvent être réalisés ou pas au cours de l'expérience selon le résultat obtenu, représentent les seuls ensembles de possibilités pour lesquels on sait calculer la probabilité de réalisation. Mathématiquement, un élément est un sous-ensemble de et l'ensemble des événements liés à l'expérience possède une structure de tribu. L'espace probabilisable est muni d'une mesure de probabilité afin de pouvoir calculer la probabilité de réalisation de n'importe quel événement lié à l'expérience aléatoire. Mathématiquement, cette mesure de probabilité est une application qui à chaque événement associe une valeur réelle comprise au sens large entre 0 et 1, souvent exprimée en pourcentage, dite probabilité de l'événement A. Cette mesure de probabilité vérifie les trois axiomes des probabilités. : (positivité) la probabilité d'un événement est une valeur entre 0 et 1 : pour tout , , (masse unitaire) la probabilité de l'univers est 1 : , (additivité) pour toute suite dénombrable d'événements disjoints deux à deux, c'est-à-dire tels que pour tous , alors .
L'intérêt de cette construction plutôt abstraite est qu'elle permet une explication globale des calculs de probabilités notamment de pouvoir considérer à la fois les théories des probabilités discrète et continue (voir sections suivantes). Elle permet également de résoudre des problèmes probabilistes en cours au début du comme les paradoxes qui occupaient tant les scientifiques tels que Joseph Bertrand (voir le paradoxe de Bertrand), Émile Borel (voir le paradoxe du singe savant).
Exemples Donnons une modélisation sous forme d'espace probabilisé d'un exemple simple : le lancer d'un dé usuel cubique parfaitement équilibré. ,
.
Cependant cette axiomatique n'est pas nécessaire pour calculer des probabilités dans des cas simples notamment dans le cas discret : il est facile de calculer que la probabilité d'obtenir un numéro pair dans le lancer de dé précédent est de 1/2.
Il est également possible de décrire une situation plus complexe. On considère le déplacement d'une particule soumise à des perturbations aléatoires.. Si on se limite à l'espace de temps , l'espace de probabilité naturel est l'ensemble des fonctions continues à valeurs dans . Autrement dit, un élément de est une fonction continue . La tribu associée à cet espace est la plus petite tribu qui rende toutes les applications mesurables. Reste à définir la mesure de probabilité; un exemple est de prendre la mesure de Wiener, c'est-à-dire la loi d'un mouvement brownien. Le choix de cet espace n'est généralement pas donné, on s'intéresse directement aux propriétés des fonctions définies sur cet espace..
Variable aléatoire