En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, l'intersection des conjugués, dans un groupe , d'un sous-groupe est appelée le cœur de (dans )Jean Delcourt, Théorie des Groupes, éd., 2007, p. 81, écrit dans une note de bas de page : « [Ce sous-groupe] se nomme en anglais le core de , ce qui peut se traduire par cœur ». Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne, donne cette définition plus générale : « Soit un sous-groupe et un sous-ensemble. Le cœur de relativement à est l'ensemble cœurS()= . » Dans la phrase suivante, il désigne par « cœur de » le cœur de dans . et est notée cœurG(H)Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne ou encore Voir par exemple , p. 207..
Propriétés Le cœur de dans est le plus grand sous-groupe normal de contenu dans .
Si on désigne par l'ensemble des classes à gauche de modulo (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, n'étant pas supposé normal dans ), on sait que opère à gauche sur par :
Le cœur de dans est le noyau de cette opération. Il en résulte que est isomorphe à un sous-groupe de (groupe des permutations de l'ensemble ). En particulier, si est d'indice fini dans , est lui aussi d'indice fini dans et cet indice divise (factorielle de ).
Applications Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjuguésO. Ore, « Contributions to the theory of groups of finite order », dans Duke Mathematical Journal, vol. 5 (1938), 431-460. Référence fournie par , qui donne une démonstration (pp. 210-211).. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall et de Voir , qui donne des démonstrations (pp. 210-212)..
Notes et références
Catégorie:Théorie des groupes