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En mathématiques, une matrice se présente comme un tableau rectangulaire de nombres ou plus formellement comme une famille d'éléments (souvent appelés coefficients) indexés par un numéro de ligne et un numéro de colonne. Le nombre de lignes et le nombre de colonnes définissent la taille de la matrice. Ses coefficients appartiennent à un même corps commutatif ou à un anneau (voire un demi-anneau), dont les lois de composition servent à définir l’addition de matrices de même taille, ainsi que la multiplication scalaire et le produit matriciel qui fondent notamment l'algèbre linéaire et bilinéaire en dimension finie.
La structure algébrique des matrices permet de résoudre des systèmes d’équations linéaires, d’analyser des données statistiques, de représenter des groupes ou des algèbres de Lie, d’encoder les graphes finis (même orientés ou pondérés) et certaines transformations géométriques, de combiner des relations binaires, de décrire l’évolution de certains systèmes dynamiques en temps continu ou discret, déterministes ou aléatoires…
Pour une matrice à coefficients dans un anneau commutatif, le rang d’une matrice est celui de l'espace engendré par ses colonnes, et égal à celui de la matrice transposée.
L'ensemble des matrices carrées de taille fixée sur un anneau forme une extension non commutative de , notée et munie d’opérateurs spécifiques comme la trace et (si est commutatif) le déterminant.
Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices.
Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique, avec les approximations de Gauss.
La définition peut être étendue avec des ensembles d’indices de ligne et de colonne plus généraux (par exemple des classes de congruence d’entiers) voire infinis, mais dans ce cas le produit matriciel pose des problèmes de convergence, et de tels objets sont mieux décrits comme des opérateurs linéaires.
Historique Histoire de la notion de matrice Bien que le calcul matriciel proprement dit n'apparaisse qu'au début du , les matrices, en tant que tableaux de nombres, ont une longue histoire d'applications à la résolution d'équations linéaires. Le texte chinois Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, écrit vers le , est le premier exemple connu de l'utilisation de tableaux pour résoudre des systèmes d'équationsChapitre 8 : Fang cheng - La disposition rectangulaire : problèmes à plusieurs inconnues, résolus selon un principe similaire à l'élimination de Gauss., introduisant même le concept de déterminant. En 1545, Jérôme Cardan fait connaître cette méthode en Europe en publiant son Ars Magna Discrete Mathematics 4th Ed. Dossey, Otto, Spense, Vanden Eynden, Addison Wesley, 10 octobre 2001, (pages 564-565).. Le mathématicien japonais Seki Kōwa utilise indépendamment les mêmes techniques pour résoudre des systèmes d'équations en 1683.. Aux Pays-Bas, Johan de Witt représente des transformations géométriques à l'aide de tableaux dans son livre de 1659, Elementa curvarum linearum. Entre 1700 et 1710, Leibniz montre comment utiliser les tableaux pour noter des données ou des solutions, et expérimente plus de 50 systèmes de tableaux à cet effet. En 1750, Gabriel Cramer publie la règle qui porte son nom..
En 1850, le terme de « matrix » (qui sera traduit par matrice) est forgé (sur la racine latine mater) par James Joseph SylvesterDe nombreuses sources affirment qu'il l'aurait fait en 1848, mais Sylvester n'a rien publié cette année-là. (voir The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge, England: Cambridge University Press, 1904), vol. 1.). Sa première utilisation du terme , en 1850, figure dans , , 37 : 363-370. (1850), page 369 : ., qui le voit comme un objet donnant naissance à la famille de déterminants actuellement appelés mineurs, c'est-à-dire les déterminants des sous-matrices obtenues en retirant des lignes et des colonnes. Dans un article de 1851, Sylvester précise : « Dans des articles antérieurs, j'ai appelé matrix un tableau rectangulaire de termes à partir desquels plusieurs systèmes de déterminants peuvent être engendrés, comme issus des entrailles d'un parent commun » dans , Article 37, p. 247..
En 1854, Arthur Cayley publie un traité sur les transformations géométriques utilisant les matrices de façon beaucoup plus générale que tout ce qui a été fait avant lui. Il définit les opérations usuelles du calcul matriciel (addition, multiplication et division) et montre les propriétés d'associativité et de distributivité de la multiplication. Jusque-là, l'utilisation des matrices s'était essentiellement limitée au calcul des déterminants ; cette approche abstraite des opérations sur les matrices est révolutionnaire. En 1858, Cayley publie son A Memoir on the Theory of MatricesPhil. Trans. 1858, vol. 148, pp. 17-37 Math. Papers II 475-496.., dans lequel il énonce et démontre le théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices 2×2.
Beaucoup de théorèmes ne sont d'ailleurs démontrés au début que pour de petites matrices : après Cauchy, Hamilton généralise le théorème aux matrices 4×4, et ce n'est qu'en 1898 que Frobenius, étudiant les formes bilinéaires, démontre le théorème en dimension quelconque. C'est aussi à la fin du que Wilhelm Jordan établit la méthode d'élimination de Gauss-Jordan (généralisant la méthode de Gauss pour les matrices échelonnées). Au début du , les matrices occupent une place centrale en algèbre linéaire., en partie grâce au rôle qu'elles jouent dans la classification des systèmes de nombres hypercomplexes du siècle précédent.
Un mathématicien anglais du nom de Cullis est le premier, en 1913, à utiliser la notation moderne des crochets (ou des parenthèses) pour représenter les matrices, ainsi que de la notation systématique pour représenter la matrice dont est le terme de la i-ème ligne et de la j-ème colonne.
La formulation de la mécanique quantique au moyen de la mécanique matricielle, due à Heisenberg, Born et Jordan, amena à étudier des matrices comportant un nombre infini de lignes et de colonnes.. Par la suite, von Neumann précisa les fondements mathématiques de la mécanique quantique, en remplaçant ces matrices par des opérateurs linéaires sur des espaces de Hilbert.
Autres utilisations mathématiques du mot « matrice » Deux mathématiciens notables au moins ont utilisé le mot dans un sens inhabituel.
Bertrand Russell et Alfred North Whitehead, dans leur Principia Mathematica, utilisent le mot « matrice » dans le cadre de leur . Cet axiome permet de réduire le type d'une fonction, les fonctions de type 0 étant identiques à leur ; ils appellent « matrice » une fonction n'ayant que des variables libres« Let us give the name of matrix to any function, of however many variables, which does not involve any apparent variables. Then any possible function other than a matrix is derived from a matrix by means of generalization, i.e., by considering the proposition which asserts that the function in question is true with all possible values or with some value of one of the arguments, the other argument or arguments remaining undetermined » . Alfred North Whitehead et Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press, Cambridge UK (1913, réédition de 1962) voir p. 162.. Ainsi, par exemple, une fonction de deux variables et peut être réduite à une collection de fonctions d'une seule variable, par exemple , en « considérant » la fonction pour toutes les valeurs substituées à la variable puis réduite à une « matrice » de valeurs en procédant de même pour : .
Alfred Tarski, dans son Introduction à la logique de 1946, utilise le mot « matrice » comme un synonyme de table de vérité Alfred Tarski, Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc, New York NY, 1946 . (lire en ligne).
Définitions Une matrice à lignes et colonnes est un tableau rectangulaire de nombres, rangés ligne par ligne. Il y a lignes, et dans chaque ligne éléments.
Plus formellement et plus généralement, soient , et trois ensembles ( sera souvent muni d'une structure d'anneau ou même de corps commutatif).
Une matrice de type Voir , qui parle aussi de « matrice vide » dans le cas où ou est l'ensemble vide. à coefficients dans , est une famille d'éléments de indexée par le produit cartésien , c'est-à-dire une application de dans . Son type (I,J) fait partie de la spécification de la matrice, mais pas l'ensemble (par exemple une matrice à coefficients réels est aussi une matrice à coefficients complexes).
Le plus souvent, comme dans toute la suite de cet article, les ensembles et sont finis et sont respectivement les ensembles de nombres entiers et . Dans ce cas, on dit que la matrice a lignes et colonnes, ou qu'elle est de dimension ou taille . En notant l'image d'un couple par l'application , la matrice peut alors être notée
ou plus simplement si le contexte s'y prête.
Dans le cas particulier où ou est l'ensemble vide, la matrice correspondante est appelée la matrice vide de type (I,J). Il est nécessaire de distinguer les matrices vides de différents types pour définir le produit matriciel, car le produit de matrices (vides) de tailles respectives et est une matrice (nulle, mais non vide) de taille , et dépend donc des entiers m, n.
On représente généralement une matrice sous la forme d'un tableau rectangulaire. Par exemple, est représentée ci-dessous une matrice , à coefficients entiers, et de dimension (3,4) :
Dans cette représentation, le premier coefficient de la dimension est le nombre de lignes, et le deuxième, le nombre de colonnes du tableau. Une matrice pour laquelle le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes sera dite matrice carrée de taille (ou d’ordre) . Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et colonnes est appelée matrice ligne (ou plus souvent vecteur ligne) de taille . Une matrice comportant lignes et une seule colonne est appelée matrice colonne (ou plus souvent vecteur colonne) de taille .
Pour repérer un coefficient d'une matrice, on indique son indice de ligne puis son indice de colonne, les lignes se comptant du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. Par exemple, on notera , les coefficients de la matrice , compris entre 1 et 3 désignant le numéro de la ligne sur laquelle figure le coefficient envisagé, et compris entre 1 et 4 désignant son numéro de colonne ; ainsi .
La disposition générale des coefficients d'une matrice de taille est donc la suivante
Les coefficients avec sont dits diagonaux, ceux avec sont dits extradiagonaux.
Une sous-matrice de est une matrice obtenue en sélectionnant une partie de ses lignes et une partie de ses colonnes ; on la note . On dit qu'une sous-matrice est principale si dans la définition précédente. La diagonale principale de est le vecteur
où .
Pour effectuer certaines opérations, il peut être utile de travailler sur le système des lignes ou des colonnes d'une matrice. On pourra alors l'écrire sous une des formes suivantes
L'ensemble des matrices à coefficients dans possédant lignes et colonnes est noté (ou parfois ).
Lorsque on note plus simplement .
Soit un ensemble et ; on appelle matrice transposée de la matrice . Si est un magma, où est le magma opposé de .
Par exemple, avec la matrice des exemples précédents, on a
Espaces de matrices On suppose maintenant que est muni d'une structure d'anneau ; les éléments de seront appelés scalaires, par opposition aux matrices dont nous allons voir qu'elles peuvent être considérées comme des vecteurs.
Addition des matrices et multiplication par un scalaire On définit sur une loi de composition interne provenant de l'addition des scalaires :
.
On ne peut additionner que deux matrices de même taille.
Exemple :
Pour chaque valeur du couple , l'espace devient alors un groupe abélien, d'élément neutre la matrice nulle, celle dont tous les coefficients valent 0.