On désigne par polyèdre fractal un ensemble connexe autosimilaire de polyèdres construit itérativement à partir d'un polyèdre initial.
Construction des polyèdres fractals
Soit un polyèdre d'ordre n, à n sommets notés . Le polyèdre fractal associé est construit en appliquant itérativement à ce polyèdre un système de n homothéties sur , de rapport unique telles que: le centre de l'homothétie est le sommet . le rapport est le plus grand rapport tel que l'intersection de deux quelconques des polyèdres images soit de volume nul.
Le rapport est donc déterminé pour que l'ensemble soit tout juste connexe, les intersections étant limitées à des points ou des arêtes.
On définit à partir des homothéties une nouvelle fonction , elle aussi contractante sur muni de la distance de Hausdorff, par l'expression . est un ensemble de n polyèdres similaires à .
Le théorème du point fixe assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble fixe de tel que . est appelé attracteur du système de fonctions itérées H. En pratique, F est obtenu comme la limite pour où est un compact quelconque, tel que le polyèdre .
Pour chaque polyèdre de Platon, à l'exception notable du cube, en itérant à l'infini, l'ensemble résultant est un ensemble fractal. Pour obtenir un ensemble connexe, le rapport d'homothétie nécessaire pour le cube serait 1/2. Mais l'ensemble résultant est le cube lui-même et n'est donc pas fractal.
Exemples
Les polyèdres fractals de Platon On appelle polyèdre fractal de Platon un polyèdre fractal issu d'un polyèdre régulier convexe. Le cube ne génère pas d'ensemble fractal selon les règles mentionnées ci-dessus. Tétraèdre fractal Octaèdre fractal Dodécaèdre fractal Icosaèdre fractal Nombre d'homothéties 4 6 20 12 Rapport d'homothétie Dimension fractale
Tétraèdre fractal ou tétraèdre de Sierpinski Le tétraèdre fractal est l'extension naturelle à la du triangle de Sierpinski. Il a la particularité d'avoir pour dimension 2. En conséquence, sa surface ne varie pas d'une itération à l'autre. A l'infini, sa surface est identique à celle du tétraèdre d'origine. Volume Surface A l'itération n % variation entre deux itérations A l'infini avec = longueur de l'arête du polyèdre d'origine.
Octaèdre fractal
L'octaèdre fractal est le polyèdre fractal dont le volume diminue le plus lentement d'une itération à l'autre.
L'intersection de deux polyèdres images voisins est une arête et non un sommet.
Chaque face est un triangle de Sierpinski.
À la limite, sa surface infinie enveloppe un volume nul. Volume Surface A l'itération n % variation entre deux itérations A l'infini avec = longueur de l'arête du polyèdre d'origine.
Dodécaèdre fractal
Le dodécaèdre fractal est le polyèdre fractal platonique dont le volume diminue le plus vite d'une itération à l'autre.
À la limite, sa surface infinie enveloppe un volume nul. Volume Surface A l'itération n % variation entre deux itérations A l'infini avec = longueur de l'arête du polyèdre d'origine et , le nombre d'or.
Icosaèdre fractal
L'icosaèdre fractal est le polyèdre fractal platonique dont la surface augmente le plus vite d'une itération à l'autre.
À la limite, sa surface infinie enveloppe un volume nul. Volume Surface A l'itération n % variation entre deux itérations A l'infini avec = longueur de l'arête du polyèdre d'origine et , le nombre d'or.
Autres exemples vignette|Le polyèdre fractal de la pyramide de Sierpiński à la 8ème itération. Mai 2023.|centréL'exemple ci-dessus est construit à partir d'une pyramide à base carrée. Chaque pyramide est remplacée par 5 pyramides dans un rapport 1/2 : dimension .
Généralisations
On peut généraliser la construction et ignorer la propriété de connexité en s'autorisant un rapport strictement inférieur à la valeur critique.
Dans ce cas, l'ensemble résultat n'est plus connexe.
Par exemple, le cube auquel on applique un rapport d'homothétie conduit à un ensemble disjoint qui, lui, est fractal et a pour dimension . Il est baptisé Cube de Cantor.
On peut aussi ajouter des homothéties, par exemple centrées aux milieu des arêtes, ce qui est le cas pour l'éponge de Menger construite à partir du cube.
Voir aussi Fractale Liste de fractales par dimension de Hausdorff
Liens externes
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