thumb|upright=1.5|La loi de Benford énonce que le premier chiffre d'un nombre issu de données statistiques réelles n'est pas équiprobable. Un chiffre a d'autant plus de chance de figurer en premier qu'il est petit. La loi de Benford, initialement appelée loi des nombres anormaux par Frank Benford Frank Benford, « The law of anomalous numbers », Proceedings of the American Philosophical Society, vol. 78, 1938, .Ian Stewart, 1 est plus probable que 9, in Pour la science, 190, p.96. et aussi in L'univers des nombres, Belin, 2000, ., également connue sous le nom de loi de Newcomb-Benford., fait référence à une fréquence de distribution statistique observée empiriquement sur de nombreuses sources de données dans la vraie vie, ainsi qu'en mathématiques.
Dans une série de données numériques, on pourrait s'attendre à voir les chiffres de 1 à 9 apparaître à peu près aussi fréquemment comme premier chiffre significatif, soit avec une fréquence de 11,1 % pour chacun. Or, contrairement à cette intuition (biais d'équiprobabilité), la série suit très souvent approximativement la loi de Benford : pour près du tiers des données, le significatif est le 1. Viennent ensuite le chiffre 2, puis le 3, et la probabilité d'avoir un 9 comme premier chiffre significatif n'est que de 4,6 %.
C'est une loi observée aussi bien dans les mathématiques sociales, c'est-à-dire les sciences humaines et sociales, que dans des tables de valeurs numériques comme celles qu'on rencontre en physique., en volcanologie., en pétrologie., en génétique., en BTP, en économie (taux de change) ou dans les numéros de rue d'un carnet d'adresses personnel.
Énoncé de la loi vignette|350x350px|C'est sur une échelle logarithmique qu'il faut placer les réels entre 1 et 10 pour obtenir la loi de Benford. En choisissant un nombre au hasard sur ce segment, on a en effet une probabilité de que son premier chiffre soit égal à . Une série de nombres réels en écriture décimale suit la loi de Benford si la fréquence d'apparition du premier chiffre significatif vaut approximativement :
pour tout entre 1 et 9 où désigne le logarithme décimal. On vérifie que la somme de ces fréquences vaut .
Par exemple, la probabilité benfordienne qu'un nombre commence par un 1, comme ou , vaut : , voir la .
L'espérance du premier chiffre vaut alors : , loin de la valeur 5 donnée par une loi uniforme continue.
Cette définition se généralise pour l'écriture des nombres en base en remplaçant par ; par exemple : en base 2, la probabilité benfordienne qu'un nombre commence par un 1 vaut : (tous les nombres commencent par un 1, sauf le nombre 0) ; en base 3, la probabilité benfordienne qu'un nombre commence par un 1 vaut , par un 2 : .
Historique vignette|Image du pavé numérique d'un clavier d'ordinateur illustrant la loi de Benford : l'usure des touches correspondant aux plus petits chiffres est plus grande. En 1881, après s'être aperçu de l'usure (et donc de l'utilisation) préférentielle des premières pages des tables de logarithmes (alors compilées dans des ouvrages), l'astronome américain Simon Newcomb a rapporté cette loi, sans la nommer, dans un article de lAmerican Journal of Mathematics.. Cet article passe inaperçu pendant cinquante-sept ans. Frank Benford, aux alentours de 1938, remarque à son tour cette usure inégale, croit être le premier à formuler cette loi qui porte, conformément à la loi de Stigler, indûment son nom aujourd'hui, et arrive aux mêmes résultats après avoir répertorié des dizaines de milliers de données (longueurs de fleuves, cours de la bourse, etc.)
Premiers exemples et contre-exemples Dans la vie réelle, on constate souvent la décroissance des probabilités en fonction du premier chiffre, voire une adéquation avec les valeurs de la loi de Benford : données géographiques, données physiques, résultats sportifs, taille des fichiers sauvegardés dans un ordinateur, etc.
+ Fréquences relatives des chiffres significatifs selon la loi de BenfordChiffresignificatifFréquenceapproximative1 30 %2 18 %3 12 %4 10 %5 8 %6 7 %7 6 %8 5 %9 4 %
Par exemple, Mickaël Launay a relevé en 2019 dans un supermarché, et a obtenu comme fréquences successives pour les premiers chiffres de 1 à 9 : 32 %, 26 %, 15 %, 9 %, 5 %, 4 %, 3 %, 2 %, 4 %..
Dans une liste de 100 nombres obtenus comme produits de deux nombres ou plus tirés au hasard entre 1 et , les fréquences des chiffres 1 à 9 en première position suivent peu ou prou les valeurs de la loi de Benford.
La loi de Benford n'est pas valable si l'on tire au hasard des nombres entiers strictement positifs ayant n chiffres au plus ; il y en a en effet autant qui commencent par 1, par 2,... ou par 9, soit .
Cette loi n'est pas vérifiée si la série de données comporte : des contraintes quant à l'échelle des valeurs vraisemblables : par exemple, la taille des individus, lorsqu'elle est exprimée dans le système métrique, ne suit, à l'évidence, pas la loi de Benford puisque la quasi-totalité des mesures commence par le chiffre « 1 » ; des contraintes sur le premier chiffre comme pour les numéros de téléphone.
Explications
Invariance d'échelle L'observation empirique a montré que les ensembles de mesures physiques qui suivent la loi de Benford continuent de le faire après leur conversion dans d'autres unités (longueurs, de même pour des listes de prix exprimés dans une monnaie donnée, après un changement de devise).. En revanche, si un tableau de nombres ne suit pas d'assez près la loi de Benford, le changement de monnaies ou la conversion d'unité modifie considérablement la fréquence d'apparition du premier chiffre.
a démontré le théorème suivant, dit : la seule loi de probabilité du premier chiffre qui reste invariante par multiplication par toute constante >0, est la loi de Benford. ; une telle loi est dite scalante. Ainsi, la pertinence consiste à observer les écarts multiplicatifs et .
Pour de nombreux ensembles de nombres, et tout particulièrement ceux qui n'ont pas d'ordre de grandeur imposé, comme les chiffres d'affaires d'entreprises et les cours de bourse., cette supposition est raisonnable.
Donald Knuth donne une démonstration de cette propriété dans le tome 2 de son , intitulé . Cette démonstration a été redonnée par d'autres sans citer Knuth.
La loi de Benford est également invariante par changement de système de numération.
Produit de variables indépendantes En 1994, Jeff Boyle a montré que si une variable résulte de la multiplication entre elles d'un grand nombre de variables indépendantes, elle suit à peu près la loi de Benford (exactement à la limite).. Autrement dit, la loi de Benford serait naturelle si les nombreux facteurs qui expliquent telle ou telle grandeur agissent multiplicativement.
Ce résultat est un équivalent logarithmique de la loi des grands nombres..
Équipartition de la partie fractionnaire En 2008, Nicolas Gauvrit et Jean-Paul Delahaye redonnent une explication de la loi de Benford en utilisant le caractère étalé et régulier de la partie fractionnaire des logarithmes des nombres d'une série statistique« Les distances commencent le plus souvent par le chiffre 1 », Science et Vie, août 2010, ..
Ils utilisent en particulier le théorème de Diaconis.
Ils suggèrent de plus qu'un équivalent de cette loi fondé sur d'autres fonctions que le logarithme fonctionnerait tout aussi bien, mais donnerait des lois moins simples que celle de Benford.
Applications vignette|droite|Répartition des premiers chiffres (en %, barres roses) dans la population des 237 pays du monde (juillet 2010). Les points noirs indiquent la répartition prévue par la loi de Benford. Détection de fraudes fiscales Dans un article publié en 1972, l'économiste Hal Varian propose d'utiliser la loi de Benford pour détecter la fraude fiscale.. Les premiers chiffres significatifs 5 et 6 prédominent nettement dans les données falsifiées : 40 % pour les 5 et plus de 20 % pour les 6.
Pour proposer un modèle de prédiction d'indice boursier, il convient d'inclure un test de cohérence car la loi de Benford ne fait pas de distinction entre les nombres 20 et : ces deux nombres ayant 2 comme premier chiffre significatif..
Les chiffres peuvent cependant aussi être influencés par le souci d'éviter des seuils et des plafonds fiscaux, dans le cadre d'une optimisation fiscale, qui n'a rien d'illégal.
Détection de fraudes comptables Dans une étude publiée en 2011, quatre économistes allemands ont testé la loi de Benford sur les données comptables produites par les États membres de l'Union européenne. Ils montrent que la Grèce est le pays européen qui s'éloigne le plus des prédictions de la loi de Benford. La Belgique est le second pays qui dévie le plus par rapport à cette loi. Un économiste a émis l'hypothèse que la Belgique avait falsifié ses comptes...
Détection de fraudes électorales La loi de Benford a aussi été utilisée pour mettre en évidence la fraude électorale. Le canton de Genève en Suisse l'a utilisée pour détecter d'éventuelles irrégularités dans les scrutins du canton.Tests de détection de fraudes pour la votation du 3 mars 2013, Chancellerie d'État du Canton de Genève, 24 avril 2013..
Trois politologues ont publié une étude montrant à partir de simulations que la mise en évidence de la fraude à partir d'un test d'adéquation à la loi de Benford était problématique et ne donnait pas de bons résultats sur les données simulées. ..
Détection de fraudes liées au commerce international Des tentatives ont été faites pour appliquer cette loi à la détection des fraudes du commerce international.
Détection de fraudes scientifiques La loi de Benford a aussi été utilisée pour détecter des données contrefaites dans des articles scientifiques..
Contrôle qualité La loi de Benford peut être utilisée pour contrôler la qualité des données, par exemple dans le domaine des modèles numériquesLaurent Polidori, Mhamad El Hage, Application de la loi de Benford au contrôle de qualité des modèles numériques de terrain.
Loi de Benford continue et uniformité de la partie fractionnaire du logarithme La mantisse d'un réel étant définie comme le nombre de l'intervalle obtenu en déplaçant la virgule après le premier chiffre significatif (par exemple, la mantisse de 0,00125 est 1,25), on donne la définition suivante, généralisant la précédente, et également constatée dans la vraie vie.
Les premiers chiffres des nombres de la série suivent alors la loi de Benford simple, puisque le premier chiffre d'un réel est égal à si la mantisse de appartient à , et la probabilité correspondante vaut alors .
Or, la mantisse de étant obtenue par la formule : où désigne la partie fractionnaire, la mantisse de appartient à si et seulement si appartient à ; on obtient alors le théorème de Diaconis. :
C'est sous cette forme plus générale impliquant la mantisse logarithmique que la loi de Benford a été énoncée la première fois par Newcomb..
La loi de Benford s'applique à n'importe quelle base (binaire, octale, hexadécimale...).
Cas des chiffres suivant le premier
Loi d'un bloc de k chiffres En utilisant la loi de Benford en base ou la loi de Benford continue, on obtient que la probabilité benfordienne que l'écriture décimale d'un réel commence par un nombre de chiffres entre et vaut : .
Par exemple, la probabilité benfordienne qu'un nombre commence par 314, comme 3,14159..., 314285,7... ou 0,00314465... vaut (ici, et ).
Cette définition se généralise pour l'écriture des nombres en base en remplaçant par ; par exemple : en système binaire, la probabilité benfordienne qu'un nombre commence par vaut ; il y a donc légèrement plus de nombres commençant par que par . en base 3, la probabilité benfordienne qu'un nombre commence par vaut .
Loi des chiffres suivant le premier Ce résultat permet de trouver la probabilité benfordienne qu'un chiffre soit à une position donnée dans un nombre. Par exemple, la probabilité benfordienne qu'un soit trouvé en deuxième position vaut :