La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, conjecture tchèque, problème de Kakutani ou problème 3x + 1, est l'hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint 1.
Une suite de Syracuse est une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante : on part d'un nombre entier strictement positif ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et l'on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers strictement positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.
Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 et ainsi de suite. C'est la suite de Syracuse du nombre 14. Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs 1, 4, 2, 1, 4, 2… se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.
Si l'on était parti d'un autre entier naturel, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ n'atteigne jamais la valeur 1, soit qu'elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu'elle diverge vers l'infini. Or, on n'a jamais trouvé d'exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n'aboutisse pas à 1, puis au cycle trivial.
En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture défie depuis de nombreuses années les mathématiciens. Paul Erdős a dit à propos de la conjecture de Syracuse :
Origines Dès les années 1930, Lothar Collatz s'intéressait aux itérations dans les nombres entiers, qu'il représentait au moyen de graphes et d'hypergraphesÉric Mercier, La conjecture de Syracuse, consulté en septembre 2005, archive de 2011... Il a présenté plusieurs de ces problèmes lors de conférences. En 1952, selon Collatz, il expliqua son problème à son collègue de Hamburg, Helmut Hasse.. Ce dernier le diffusa aux États-Unis lors d'une visite à l'université de Syracuse : la suite de Collatz prit alors le nom de « suite de Syracuse ». D'autres mathématiciens affirment avoir joué un rôle dans l'origine de ce problème, comme Bryan Thwaites. Le mathématicien polonais Stanislas Ulam le répand aussi dans le Laboratoire national de Los Alamos. Dans les années 1960, le problème est repris par le mathématicien Shizuo Kakutani qui en parle à l'université Yale et à l'université de Chicago.
Cette conjecture mobilisa tant les mathématiciens durant les années 1960, en pleine guerre froide, qu'une plaisanterie courut selon laquelle ce problème faisait partie d'un complot visant à ralentir la recherche américaine.. Mais rien n'est publié à propos de cette conjecture dans la littérature scientifique avant les années 1970.
Première approche de la conjecture Suite de Syracuse La suite de Syracuse d'un nombre entier est définie par récurrence, de la manière suivante :
et pour tout entier naturel :
Énoncé de la conjecture La conjecture affirme que pour tout entier , il existe un indice tel que .
+ Suite de Syracuse pour N = 15 15 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1 4 2 1 …
Vocabulaire thumb|Représentation graphique de la suite pour N = 27. L'observation graphique de la suite pour et pour montre que la suite peut s'élever assez haut avant de retomber. Les graphiques font penser à la chute chaotique d'un grêlon ou bien à la trajectoire d'une feuille emportée par le vent. De cette observation est né tout un vocabulaire imagé : on parlera du vol de la suite.
On définit alors. : le temps de vol : c'est le plus petit indice tel que .
le temps de vol en altitude : c'est le plus petit indice tel que .
l'altitude maximale : c'est la valeur maximale de la suite.
Sous-problèmes Derrière cette conjecture, se cachent deux autres conjectures, toutes les deux encore irrésolues. Toute suite de Syracuse est-elle bornée ? Existe-t-il d'autres cycles que le cycle trivial (4,2,1)?
Les réponses OUI à la première question et NON à la seconde sont nécessaires et suffisantes pour démontrer la conjecture.
Approches de la conjecture et résultats
Suite compressée thumb|Suite de Syracuse compressée, pour N = 15.|right thumb|Suite de Syracuse compressée, pour N = 127.|gauche
On remarque que, si est impair dans la formule ci-dessus, est nécessairement pair et donc le pas suivant de la suite doit être une division par deux. On peut définir une nouvelle version compressée de la suite de Syracuse en combinant ces deux pas de la façon suivante :
La nouvelle suite est une suite extraite de la version de base, et la conjecture dit que cette suite aboutit toujours au cycle (1,2,1…).
+ Suite de Syracuse compressée pour N = 15 15 23 35 53 80 40 20 10 5 8 4 2 1 2 1 …
Approche inverse alt=|vignette|L'arbre reliant les nombres à durée de vol inférieure à 20. On peut aussi partir d'un algorithme inverse :
Au lieu de prouver que la suite directe, partant de n'importe quel entier naturel non nul, mène toujours à 1, on essaye de démontrer que l'algorithme inverse, partant de 1, est capable de générer tous les nombres entiers naturels non nuls.
Il existe aussi une version compressée de l'algorithme inverse :
vignette|Représentation sous forme de graphe de toutes les suites de Syracuse dont le premier terme est inférieur ou égal à 1000. Ces algorithmes inverses peuvent être représentés par des arbres, dont la racine est 1. Si la conjecture est vraie, ces arbres recouvrent tous les entiers naturels non nuls.
Approche binaire Les applications répétées de la fonction de Syracuse peuvent être représentées comme une machine abstraite traitant d'un processus binaire. La machine effectuera les trois étapes suivantes sur n'importe quel nombre impair jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un « 1 »:
Décaler le nombre en binaire d'un cran à gauche et rajouter « 1 » à l'extrémité droite (donnant 2n + 1); Additionner le nombre original n (donnant 2n + 1 + n = 3n + 1); Enlever tous les « 0 » situés à droite (c'est-à-dire diviser par deux jusqu'à ce que le résultat soit impair).
Exemple Le nombre de départ choisi est 7. Son écriture en binaire est 111 (car ) La séquence qui en résulte est la suivante : 111 1111 10110 10111 100010 100011 110100 11011 101000 1011 10000 11 100
Approche probabiliste Il existe des arguments heuristiques et statistiques de nature à motiver la conjecture. Considérons par exemple une itération de la suite de Syracuse compressée sur un nombre v pris aléatoirement dans un intervalle assez grand. Si v est pair, il est multiplié par (1/2), tandis que s'il est impair, il est multiplié par (3/2) environ. Dans les deux cas, on vérifie que la parité du résultat est indépendante de celle de v. Un raisonnement heuristique consiste à supposer que ce raisonnement probabiliste est valable pour n'importe quel terme de la suite compresséeCette piste est explorée par Terras, Everett et Crandall (1978-1977), Lagarias (1985), et E. Barone (1999) .. Bien que ce ne soit pas rigoureux (les termes de la suite ne sont pas aléatoires), certaines observations expérimentales tendent à le confirmer. Ainsi, le modèle obtenu en appliquant cette hypothèse prédit convenablement le temps de vol en altitude de la suite.. Avec cette heuristique, on peut dire que statistiquement, l'effet de deux opérations consécutives de la suite revient à multiplier le nombre de départ par (3/4), ou encore que l'opération de Syracuse est contractante, en moyenne, dans un rapport approximativement égal à la racine carrée de (3/4) = 0,866…
Ce rapport nettement inférieur à l'unité suggère fortement que les éléments successifs d'une suite de Syracuse ne peuvent très probablement pas croître indéfiniment. Il n'existe aucune preuve rigoureuse de cette affirmation (et même si l'on parvenait à rendre rigoureux cet argument probabiliste, cela ne permettrait pas encore de conclure, un événement de probabilité quasi nulle mais non nulle, n'étant pas pour autant impossible). De plus, l'argument ici esquissé n'exclut nullement l'existence de cycles non triviaux.
Concernant la répartition des nombres qui satisfont à l'hypothèse de Syracuse, par des méthodes élaborées de programmation linéaire on arrive à montrer que, pour suffisamment grand, le nombre d'entiers inférieurs à qui satisfont l'hypothèse de Syracuse est au moins pour certaine constante . En 2002, I. Krasikov et J. Lagarias obtinrent .
Terence Tao annonce, en 2019, avoir prouvé (rigoureusement, mais par un argument probabiliste) que presque toutes les orbites de Collatz sont bornées par toute fonction qui diverge vers l'infini... En rendant compte de cet article, Quanta Magazine estime que ..
Approche calculatoire
Une voie d'exploration intéressante consiste en l'étude systématique du comportement de la suite de Syracuse à l'aide d'ordinateurs, pour des nombres de départ de plus en plus grands. OnT. Oliveira e Silva, Computational verification of the 3x+1 conjecture..T.Oliveira e Silva, Empirical verification of the 3x+1 and related conjectures, The Ultimate Challenge : the 3x+1 problem, American Mathematical Society, Providence, (2010) p.189-207.. a ainsi vérifié la conjecture pour tout . La grandeur de ce nombre est de nature à renforcer notre croyance en la véracité de la conjecture de Syracuse. Il convient cependant de comprendre qu'aussi loin que l'on poursuive le calcul, il ne peut directement fournir une démonstration de cette conjecture ; le calcul pourrait éventuellement, au contraire, rencontrer un contre-exemple, qui démontrerait la fausseté de la conjecture. Cette approche présente aussi l'intérêt de fournir des résultats numériques utilisables par les théoriciens pour compléter leurs démonstrations. Par exemple, en utilisant la borne . avec un théorème Shalom Eliahou, The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths, Discrete Mathematics 118 (1993) p. 45-56.sur la longueur des cycles de la suite de Syracuse, on peut conclure qu'à part le cycle trivial (1,4,2,1…) il n'existe aucun cycle de longueur inférieure à 186 milliards. La nouvelle borne permet de montrer qu’un cycle non trivial est au moins de longueur 355 504 839 929.
Les résultats numériques permettent de chercher des corrélations entre le nombre de départ et la durée de vol, ou le record d'altitude. On a ainsi observé que si les records d'altitude pouvaient être très élevés, la durée du vol était en comparaison plus modeste. Une observation sur les nombres déjà étudiés semble indiquer que l'altitude maximale est majorée par , où pourrait être soit une constante, soit une fonction lentement croissante. Le temps de vol est plus erratique mais semble majoré par un multiple du logarithme de . Les expériences numériques suggèrent ainsi de nouvelles conjectures auxquelles les théoriciens peuvent s'attaquer.
En revanche, la recherche théorique est seule en mesure d'apporter des lumières concernant l'existence de trajectoires infinies : il a été démontré que l'ensemble des nombres appartenant à une telle trajectoire aurait une densité asymptotique nulle ; pour rester dans l'image du vol, on pourrait dire que le grêlon, pour ne pas retomber jusqu'au sol, doit acquérir et maintenir une haute « vitesse de libération ». Si la conjecture est vraie, alors un tel vol infini est impossible.
Un énoncé indécidable ?