Les modèles mathématiques de maladies infectieuses, d'abord outils purement théoriques, ont commencé à être mis en pratique avec le problème du SIDA dans les années 1980. Lors de la pandémie Covid 19, les modélisations mathématiques ont connu un essor lors de la prise de décision relatives aux politiques de santé publique et a également contribué à l'épidémiosurveillance de la maladie.

Bien avant cela, depuis la pandémie de grippe espagnole, des modèles compartimentaux sont utilisés pour faciliter les calculs de probabilité de contagion. Ces modèles divisent la population en classes épidémiologiques.

Histoire Le cours d'une épidémie dans une population dépend de paramètres complexes et très nombreux (stades cliniques possibles, déplacement des individus, souches de la maladie).

Les modèles mathématiques se sont peu à peu affirmés comme outils d'aide à la décision pour les politiques publiques M. Kretzschmar, « Infectious disease modeling », International encyclopedia of public health, éd. Kris Heggenhougen, 2008, . car permettant de prévoir les conséquences sanitaires d'actions aussi variées que la vaccination, la mise en quarantaine ou la distribution de tests de dépistage.

Une approche fondatrice fut celle des modèles compartimentaux créés en 1927 par Anderson Gray McKendrick et William Ogilvy Kermack ; elle fut ensuite étendue par ces derniers dans deux autres articles scientifiques quelques années plus tard (1932 et 1933).. Le principe est de diviser la population en classes épidémiologiques telles que les individus susceptibles d'être infectés, ceux qui sont infectieux, et ceux qui ont acquis une immunité à la suite de la guérison. Depuis, cette approche est utilisée pour modéliser de nombreuses maladies, et continue d'être un sujet de recherche actif en prenant en compte de nouveaux éléments tels que les découvertes de la science des réseaux.

Principes fondamentaux Compartiments et règles

Un modèle épidémiologique se fonde sur deux concepts : les compartiments et les règles. Les compartiments divisent la population en divers états possibles par rapport à la maladie. Par exemple, William Ogilvy Kermack et Anderson Gray McKendrick proposèrent un modèle fondateur dans lequel la population était divisée entre les individus susceptibles de contracter la maladie (compartiment ), et les individus infectieux (compartiment ) McKendrick A. G., « Applications of mathematics to medical problems », Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. 14, p. 98 - 130, 1926.. Les règles spécifient la proportion des individus passant d'un compartiment à un autre. Ainsi, dans un cas à deux compartiments, il existe une proportion d'individus sains devenant infectés et, selon les maladies, il peut aussi exister une proportion d'individus infectieux étant guéris. L'acronyme utilisé pour un modèle est généralement fondé sur l'ordre de ses règles. Dans le modèle , un individu est initialement sain (), peut devenir infecté () puis être guéri () ; si la guérison n'était pas possible, alors il s'agirait d'un modèle Hethcote H. W., « The Mathematics of Infectious Diseases », SIAM Review, volume 42, numéro 4, pages 599-653, 2000..

Sept compartiments sont couramment utilisés : , , , , , et . Le compartiment est nécessaire, puisqu'il doit initialement exister des individus n'ayant pas encore été infectés. Lorsqu'un individu du compartiment est exposé à la maladie, il ne devient pas nécessairement capable de la transmettre immédiatement, selon l'échelle de temps considérée dans le modèle. Par exemple, si la maladie nécessite deux semaines pour rendre l'individu infectieux (ce qui est appelé une période de latence de deux semaines) et que le modèle représente l'évolution journalière de la population, alors l'individu ne va pas directement dans le compartiment (infectieux) mais doit passer par un compartiment intermédiaire. Un tel compartiment est noté , pour les individus exposés.

Selon les maladies, il peut être utile de distinguer les individus infectés. Si la maladie est causée par des organismes parasites tel le ver parasite ou les tiques, alors la concentration de ces organismes peut justifier de diviser la classe en plusieurs classes représentant plusieurs niveaux de concentration. Lorsque la maladie est causée par des virus ou des bactéries, un grand nombre de modèles ne divisent pas la classe : ils considèrent que l'individu est infecté ou ne l'est pas Britton N. F., « Essential mathematical biology », Springer undergraduate mathematics series, Springer, , 2003, chapitre 3 (Infectious Diseases).. Cependant, dans le cas d'un virus, il existe un analogue à la concentration en organismes parasitaires : il s'agit de la charge virale, qui exprime la concentration du virus dans un volume donné tel que le sang. Les individus peuvent donc être distingués selon leur charge, puisque celle-ci les rend infectieux à des niveaux différents, ainsi qu'illustré ci-contre dans le cas du VIH.

Après qu'un individu a été infecté, trois cas de figure peuvent se produire. Premièrement, l'individu peut décéder, auquel cas il relève du compartiment . Deuxièmement, la maladie peut se terminer d'elle-même et conférer à l'individu une immunisation contre la réinfection, et il est assigné à un compartiment . Enfin, l'individu peut toujours être infectieux mais il se retrouve isolé de la population par politique de quarantaine, correspond à un compartiment Giabbanelli P. G., Peters J. G., « Réseaux complexes et épidémies », Technique et Science Informatiques, 2010.. Séparer les individus morts des individus en quarantaine permet également de tenir compte du fait que ces derniers peuvent éventuellement guérir et réintégrer le compartiment . Outre les compartiments cités, représente les individus disposant d'une immunité à la naissance (par voie maternelle), et représente les individus porteurs de la maladie () mais qui n'en expriment pas les symptômes.

Représentation mathématique à l'aide d'équations différentielles

Les modèles compartimentaux permettent d'estimer comment le nombre d'individus dans chaque compartiment varie au cours du temps. Par abus de notation, la lettre utilisée pour représenter un compartiment est également employée pour représenter le nombre d'individus dans le compartiment. Par exemple, S est utilisé dans une équation pour représenter le nombre d'individus sains. Une formulation plus rigoureuse, et parfois employée, consiste à utiliser S(t) à la place de S, ce qui explicite qu'il s'agit d'une fonction et que le nombre dépend du temps . Pour savoir comment le nombre d'individus dans un compartiment varie au cours du temps, il est nécessaire de savoir comment déduire le nombre d'individus d'une étape à une autre, c'est-à-dire du temps au temps . Cette différence dans le nombre d'individus est donnée par la dérivée. Ainsi, correspond à la balance du nombre d'individus par rapport au compartiment S. Une balance négative signifie que des individus sortent, tandis qu'une balance positive signifie que des individus entrent. La balance porte le nom d’incidence car elle représente le nombre d'infections de la maladie.

Dans le cas d'un modèle SIR, un individu commence sain, peut devenir infecté puis se remettre de sa maladie avec une immunisation. Si le paramètre de transmission est noté p, alors

où est appelée la force d'infection. Cela exprime que l'effectif d'individus sains diminue à proportion du nombre d’individus déjà infectés et du nombre d'individus encore non-infectés. L'équation mettant en relation la fonction S et sa dérivée, il s'agit d'une équation différentielle, d'ailleurs absolument semblable à la cinétique d'une réaction chimique élémentaire bimoléculaireLe mathématicien Karl Pearson observait à ce sujet : Cité par .. Dans les modèles simples, ces équations sont des équations différentielles ordinaires (EDO, ou ODE en anglais). Si la proportion d'individus infectieux retirés de la population est , alors ce qui signifie que le nombre d'individus infectieux augmente avec ceux nouvellement infectés et diminue avec ceux retirés. Enfin, tous les individus guéris sont d'anciens individus infectieux, d'où En additionnant les trois équations différentielles, il apparaît que , ce qui signifie que le nombre d'individus dans la population est toujours le même. Ce modèle considère donc une population stable (ou close), c'est-à-dire dans laquelle il n'y a ni naissance, ni émigration ou immigration Duke University (Connected Curriculum Project), « The SIR Model for Spread of Disease », consulté le mars 2010.. L'hypothèse d'une population stable () est justifiée lorsque l'épidémie se déroule sur une petite échelle de temps par rapport à celle des variations de la taille de la population, et si ce n'est pas le cas alors il peut devenir important de considérer les effets démographiques Brauer F., « Compartmental models for epidemics », Centre for Disease Modelling, Preprint 2008-02, University of York. Consulté le 13 mars 2010..

Diversité des modèles à compartiment Dans le cadre d'un modèle avec un état intermédiaire comme SEIR, les équations pour dS/dt et dR/dt sont les mêmes. En dénotant par le taux d'individus exposés qui deviennent infectieux, alors , et Bacaer N., « », consulté le mars 2010..

Exemple d'application empirique L'épidémie de peste bubonique à Eyam, en Angleterre, entre 1665 et 1666, constitue un exemple célèbre illustrant la dynamique d'un modèle SIR dans un cas réel. Pour lutter contre la peste, le prêtre William Mompesson propose des mesures de quarantaine qui sont suivies par toute la population, afin d'empêcher que la maladie ne se diffuse à d'autres communautés. Ceci s'avère être une erreur. En effet, cette maladie est principalement transmise par les puces de rat. Or la quarantaine maintient la promiscuité entre puces, rats et hommes, et augmente drastiquement le taux d'infection ; de plus, le confinement n'empêche pas les rats de sortir et de contaminer d'autres communautés. Malgré ou à cause du confinement, 76 % des habitants décèdent.

Dans cet exemple, la quantité d'individus sains (S) et infectés (I) est connue à plusieurs dates, et la quantité d'individus disparus (R) est déduite de la taille de la population de départ. En utilisant ces données, le modèle SIR donne : et . Brauer conclut : .

Nombre de reproduction de base (R0)

Pour toute maladie, un enjeu sanitaire majeur est de savoir si elle se propage dans la population et à quelle vitesse (temps de doublement). Ceci revient à calculer le nombre moyen d'individus qu'une personne infectieuse infecte tant qu'elle est contagieuse. Ce taux est appelé le nombre de reproduction de base, et est noté R0 (ratio).

Ce taux est intuitivement facile à comprendre, mais s'il est lié au pathogène, son calcul s'avère complexe. Le R0 doit être utilisé avec prudence, car il peut conduire à des erreurs d'interprétation, tant sur le rôle réel que ce R0 a sur la propagation d'une maladie infectieuse qu'aux capacités de contrôle d'une épidémieDelamater PL, Street EJ, Leslie TF, et al. (2019) Complexity of the Basic Reproduction Number (R0). Emerg Infect Dis ;25:1-4..

Le calcul du R0 présuppose une population où tous les individus sont sains, sauf l'individu infectieux introduit (le patient zéro). Si , alors l'individu infecté contamine moins d'un autre individu en moyenne, ce qui signifie que la maladie disparaît de la population. Si , alors la maladie se propage dans la population et devient épidémique. Déterminer R0 en fonction des paramètres du modèle permet ainsi de calculer les conditions dans lesquelles la maladie se propage Heffernan J. M., Smith R. J., Wahl L. M., « Perspective on the basic reproductive ratio », Journal of the Royal Society Interface, volume 22, pages 281-293, 2005..