La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notablement généralisée en analyse fractionnaire.
Cas scalaire
Soit une fonction réelle continue. D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, une primitive n-ième de est :
.
Sa version condensée en une seule intégrale est :
.
Une preuve peut être donnée par récurrence. Pour l'initialisation (n = 1), il n'y a rien à démontrer car les deux expressions ci-dessus coïncident.
Quelques calculs nous amènent à :
.
De plus, s'annule en . Par hypothèse de récurrence, elle est donc bien la primitive n-ième de spécifiée initialement.
Généralisations La formule de Cauchy se généralise aux paramètres non entiers par l'intégrale de Riemann-Liouville, de aux complexes , avec :
avec la fonction Gamma d'Euler. Les deux formules coïncident sur la demi-droite des réels positifs.
On peut étendre la formule de Cauchy et l'intégrale de Riemann-Liouville à un espace de dimension arbitraire par le potentiel de Riesz.
Applications En analyse fractionnaire, ces formules peuvent être utilisées pour construire un opérateur intégro-différentiel, qui permet de dériver ou intégrant à un ordre fractionnaire. La dérivation à un ordre fractionnel peut être réalisée en intégrant d'abord à un ordre fractionnel, puis en dérivant le résultat.
Références , dont les deux références étaient : ; .
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