En mathématiques, une série converge inconditionnellement si la série converge, quel que soit l'ordre des éléments. Par exemple, la série converge inconditionnellement car mais aussi n'importe quel autre ordre, comme converge.
Définition Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et une suite d'éléments de X. On dit que la série converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergenteBourbaki, TG, III.44. si, pour toute permutation : ℕ → ℕ, la série converge dans X.
Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finieCf. théorème de Dvoretzky-Rogers..
Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.
Lien avec les familles sommables
Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes. :
Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que :
En posant J = ∅ et, pour tout entier naturel n, J = J ∪ K(J), on obtient une partition de ℕ par les K(J). Il existe une permutation de ℕ dans laquelle les éléments de chaque K(J) deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy.
Autres caractérisations
Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre. comme le lemme 1 :
Notes et références
Voir aussi Articles connexes
Théorème d'Orlicz-Pettis Théorème de réarrangement de Riemann Théorème de réarrangement de Steinitz Bibliographie Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, , 2000
Catégorie:Série (mathématiques)