La loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, désigne en théorie des probabilités la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète qui prend la valeur 1 (représentant la réalisation du succès de l'événement) avec la probabilité p, et 0 (respectivement la réalisation de l'échec) avec la probabilité q = 1 – p.
gauche|vignette|La variable aléatoire associée au résultat obtenu au cours d'une partie de pile ou face suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,5. Définition Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.
Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre si les seules valeurs prises par sont 0 ou 1, avec la probabilité que prenne pour valeur 1, et q = 1 – p la probabilité qu'elle prenne pour valeur 0 (avec p et q non nuls).
De manière formelle :
ou, de manière équivalente,
Histoire
Propriétés
Généralités L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut p(1 – p). Le support d'une telle variable est : .
Le kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour p = 1/2 la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.
Plus généralement, toute application mesurable à valeur dans {0,1} est une variable de Bernoulli. Autrement dit, toute fonction indicatrice d'un évènement suit une loi de Bernoulli.
Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli définie sur (Ω, A, P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égales : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.
Moments
Moments ordinaires et variance Le premier moment ordinaire, soit l'espérance, d'une loi de Bernoulli se calcule comme suit :
De même, pour tout entier naturel non nul n, le moment ordinaire d'ordre n d'une loi de Bernoulli est donné par :
Les moments d'ordre 1 et 2 permettent ainsi de retrouver la variance d'une loi de Bernoulli. Par théorème de König-Huygens :
Moments centrés Les trois premiers moments centrés d'une loi de Bernoulli sont donnés par :
Fonction génératrice des probabilités La fonction génératrice des probabilités d'une loi de Bernoulli est :
Fonction génératrice des moments La fonction génératrice des moments d'une loi de Bernoulli est donnée par :
Distributions liées Loi binomiale
Si X, X, ... , X sont des variables aléatoires de Bernoulli de probabilité p et indépendantes, alors leur somme est une variable aléatoire, qui suit une loi binomiale de paramètres (n, p) :
En particulier, une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale .
Par indépendance des variables aléatoires X, cette relation avec la loi de Bernoulli permet d'aisément trouver l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale :
Son espérance est donnée par : ;
et sa variance par : .
Loi de Poisson
Soit X, X, ... , X un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs p. On note
Les deux conditions ci-dessus entrainent que
La loi de Poisson intervient souvent lorsqu'on compte des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz). Le décompte des événements rares se fait souvent au travers d'une somme de variables de Bernoulli, et la rareté des événements se traduit par le fait que les paramètres de ces variables de Bernoulli sont petits (ainsi, la probabilité que chaque événement survienne est faible).
Simulation Un algorithme simple pour simuler la loi de Bernoulli consiste à utiliser le théorème suivant :où est une loi uniforme continue de paramètre et est la fonction indicatrice.
L'algorithme peut ainsi se simplifier en :
on tire selon un tirage aléatoire uniforme sur si on renvoie 1 sinon on renvoie 0
Applications au comptage Écrire une variable aléatoire N, comptant un nombre d'événements dans une situation donnée, comme la somme d'une famille de variables de Bernoulli, permet souvent de calculer simplement l'espérance de N, comme étant la somme des paramètres de ces variables de Bernoulli :
On utilise le fait que, pour une variable de Bernoulli, le paramètre p est à la fois l'espérance et la probabilité de la valeur 1 :
Cette méthode simplifie aussi le calcul de la variance de N, dans certains cas :
et, lorsque I est ordonné, grâce à la propriété de symétrie de la covariance,
On trouvera ci-dessous quelques exemples, parmi les plus représentatifs, de cette méthode de comptage très répandue. Sondage
On compte là, par exemple, le nombre N de réponses « oui » dans un échantillon de population, lors d'un sondage, afin d'en déduire la proportion de « oui ». On effectue une série de n tirages au hasard dans une population. On pose la même question à chacun des n individus tirés au hasard. Le but est d'estimer la proportion p d'individus de la population totale qui auraient répondu « oui » (si on leur avait posé la question) à l'aide du nombre N d'individus qui ont effectivement répondu « oui » parmi les n individus interrogés. On remarque que N peut s'écrire
où X, X, ..., X sont définies par
i.e. X vaut 1 ou 0 selon que la réponse du k-ième individu est « oui » ou « non ». Étant une fonction indicatrice, X est donc une variable de Bernoulli. Son paramètre est « la probabilité de répondre « oui » », à savoir la proportion de « oui » dans la population totale, c'est-à-dire p. On a donc
D'où l'idée, proposée par Bernoulli dans son ouvrage fondateur Ars Conjectandi, d'estimer cette proportion p a priori inconnue à l'aide de la proportion N/n de « oui » dans l'échantillon, qui est, elle, connue. Dans le but de déterminer la précision de cette estimation, Bernoulli a proposé dans le même ouvrage les premières inégalités de concentration (pour la loi binomiale).. Une approche plus simple (mais produisant des inégalités de concentration plus grossières) que celle de Bernoulli, serait de calculer la variance de N, dans l'idée d'appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. À ce stade, il est nécessaire de préciser si les tirages ont eu lieu avec remise (i.e. il est possible que la même personne soit interrogée plusieurs fois), ce qui implique l'indépendance des X, et donne
Dans le cas « avec remise », N suit la loi binomiale. si les tirages ont eu lieu sans remise (i.e. en évitant d'interroger 2 fois la même personne), auquel cas les X ne sont pas indépendants. Alors
En ce cas N suit la loi hypergéométrique, et les calculs requièrent de connaître la taille totale de la population, qu'on notera T dans la suite. On a
En effet la variable Z = XX vaut 0 ou 1, et est donc une variable de Bernoulli. Pour i < j, on a alors
puis, à l'aide des propriétés de la variance,
Dans les deux cas considérés ci-dessus, la loi de N est connue explicitement. Cependant, le calcul de l'espérance de N utilisant la décomposition de N en somme de variables de Bernoulli, présenté ci-dessus, est plus simple que le calcul de l'espérance de N utilisant le théorème de transfert :
La même remarque vaut pour le calcul de la variance.
Fonction de répartition empirique
On compte là le nombre N d'éléments inférieurs au nombre réel x dans un échantillon de nombres aléatoires, afin d'en déduire la proportion de tels nombres, qui est appelée fonction de répartition empirique. En statistiques, la fonction de répartition empirique associée à un n-échantillon est la fonction de répartition de la loi de probabilité qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres de cet échantillon.
Soit un échantillon de variables i.i.d. à valeurs dans ayant pour fonction de répartition commune F(x) : la fonction de répartition empirique associée à l'échantillon est une fonction en escalier définie par
Pour un x fixé, la variable est une variable de Bernoulli, de paramètre p = F(x). Par conséquent, la variable est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne nF(x) et pour variance nF(x)(1 − F(x)).
Pour divers sens du mot « convergence », la fonction de répartition empirique converge vers la fonction de répartition F des lorsque la taille de l'échantillon augmentevoir , ou bien encore le théorème de Glivenko-Cantelli.. Par exemple, en vertu du calcul de la variance de F(x), on a, pour tout x réel,
ce qui démontre la convergence de F(x) vers F(x), dans L.
Récurrence et transience d'une chaîne de Markov
Le temps de séjour (ou nombre de passages) d'une chaîne de Markov en un état est une variable aléatoire à valeurs dans , définie par
L'état est dit transitoire ou récurrent, suivant que vaut 0 ou 1, ou encore suivant que le temps de séjour moyen en i, partant de i, , est fini ou infini. Comme est une somme (infinie) de variables de Bernoulli, discuter ce dernier point revient à discuter la convergence de la série , où est le paramètre de la variable de Bernoulli concernée, i.e. , lequel paramètre étant par ailleurs un terme diagonal de la puissance k-ième de la matrice de transition de la chaîne de Markov considérée.
Problèmes d'allocation : boîtes et boules On compte ici le nombre N de boîtes vides, dans une expérience aléatoire faisant intervenir boîtes et boules, avec de nombreuses interprétations. On jette m boules au hasard dans n boîtes, expérience probabiliste dont un événement élémentaire ω est une application de dans : ω(k) est le numéro de la boîte dans laquelle est rangée la boule numéro k. Ainsi les ω(k) sont des variables aléatoires indépendantes et uniformes sur A. L'application N, qui à une distribution ω de m boules dans n boîtes associe le nombre N(ω) de boîtes vides à la fin de cette distribution ω, peut être vue comme une somme de variables aléatoires de Bernoulli : en effet,
où X, X,..., X sont définies par
i.e. X vaut 1 ou 0 selon que la k-ième boîte est vide ou pas à la fin de la distribution ω. Étant une fonction indicatrice d'événement, X est donc une variable de Bernoulli. Son paramètre est « la probabilité d'être vide », i.e. la probabilité que chacune des m boules ait évité la boîte . Chacune des m boules ayant une probabilité 1/n de tomber dans la boîte n°k, et les allocations des m boules étant indépendantes, on obtient
puis
Grâce à cette décomposition en somme de variables de Bernoulli, on peut obtenir une inégalité de concentration précise pour N, en appliquant l'inégalité d'Azuma, Théorème 4.18.. Cette inégalité de concentration permet de justifier une méthode statistique de comptage approximatifCette méthode a été proposée par . basée sur la statistique N, et pouvant servir, par exemple, à déceler une attaque de virus informatique.
Remarque : La loi de probabilité de N s'exprime explicitement en termes des nombres de Stirling de seconde espèce, mais les expressions obtenues sont peu propices au calcul numérique, d'où la nécessité d'une approximation via l'inégalité d'Azuma.
Points fixes d'une permutation tirée au hasard On jette n boules numérotées au hasard dans n boites numérotées, chacune de ces boites contenant au plus une boule, expérience probabiliste dont un événement élémentaire est une permutation des éléments de : est, là encore, le numéro de la boite dans laquelle est rangée la boule numéro k. On suppose que les différentes distributions (permutations) possibles sont équiprobables. L'application N, qui à une distribution de n boules dans n boites associe le nombre de boules portant le même numéro que la boite dans laquelle elles sont rangées à la fin de cette distribution peut être vue comme une somme de variables de Bernoulli : en effet, , où X, X, ... , X sont définies par , X vaut 1 ou 0 selon que la k-ième boite contient la k-ième boule ou pas. Étant une fonction indicatrice d'événement, X est donc une variable de Bernoulli. Son paramètre est 1/n. On obtient que .