En mathématiques, une C*-algèbre (complexe) est une algèbre de Banach involutive, c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet sur le corps des complexes, muni d'une involution notée , et d'une structure d'algèbre complexe. Elle est également nommée algèbre stellaire. Les C*-algèbres sont des outils importants de la géométrie non commutative. Cette notion a été formalisée en 1943 par Israel Gelfand et Irving Segal.

Les algèbres stellaires sont centrales dans l'étude des représentations unitaires de groupes localement compacts.

Définition Une algèbre stellaire A est une algèbre de Banach complexe : munie d'une involutionpour tous dans A et tout complexe ; telle que la norme et l'involution sont liées par pour tout dans A.

Par la seconde condition, et donc, par symétrie, on obtient :

Un *-homomorphisme est un morphisme d'algèbres involutives. Il vérifie en particulier

Cette définition — pourtant purement algébrique — implique que est automatiquement continu, et même 1-lipschitzienJacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1964, rééd. J. Gabay, 1996 , . : voir plus loin. Si est injectif alors c'est une isométrie. Si est bijectif, son inverse est un *-homomorphisme ; auquel cas, est appelé *-isomorphisme.

Exemples

Si X est un espace localement compact, l'algèbre involutive C(X) des fonctions continues de X dans ℂ qui tendent vers zéro à l'infini, munie de la norme de convergence uniforme, est une C*-algèbre commutative. Lorsque X est compact, C(X) est donc simplement l'algèbre (unitaire) des fonctions continues de X dans ℂ. Lorsque X n'est pas compact, C(X) n'a pas d'unité mais seulement une unité approchée, dont l'existence résulte du théorème de Tietze-Urysohn. Si H désigne un espace de Hilbert, toute sous-algèbre fermée pour la norme d'opérateurs de l'algèbre des opérateurs bornés sur H est une C*-algèbre, a priori non commutative.

Spectre des éléments d'une C*-algèbre Tout comme pour les opérateurs dans un espace de Hilbert, on peut définir le spectre des éléments d'une C*-algèbre. Le spectre de est l'ensemble de ses valeurs spectrales : . Cette définition suppose que l'algèbre contenant ait une unité. Cependant, si ce n'est pas le cas, on peut toujours définir le spectre en adjoignant une unité à l'algèbre.

Pour tout élément normal dans une C*-algèbre (à la différence des *-algèbres de Banach), la norme de est égale à son rayon spectral :

Ceci s'applique en particulier pour tout x autoadjoint, par exemple pour x = yy*, dont la norme est le carré de celle de y. Ainsi la structure algébrique détermine la norme (et donc la topologie). C'est cette propriété qui fait que les *-morphismes (resp. injectifs) sont automatiquement continus (resp. isométriques).

Classification des C*-algèbres commutatives Une C*-algèbre commutative A est isométriquement isomorphe à C(X) où X est localement compact, et même compact si A a une unité. L'isomorphisme est construit via la transformée de Gelfand, et passe par l'étude des caractères de l'algèbre A.

Le calcul fonctionnel continu Si x est un élément normal d'une C*-algèbre A (c’est-à-dire commutant à son adjoint), alors il existe un *-isomorphisme isométrique entre l'algèbre des fonctions continues sur le spectre σ(x) de x et la sous-C*-algèbre de A engendrée par x et 1. Autrement dit, pour toute f continue sur σ(x), on peut définir f(x) de manière unique, comme un élément de A. Ce calcul fonctionnel prolonge le calcul fonctionnel polynomial, et σ(f(x)) = f(σ(x)) (théorème spectral)..

La construction GNS On doit à Gelfand, Naimark et Segal d'un isomorphisme isométrique (ou représentation fidèle) entre toute C*-algèbre, et une sous-algèbre fermée de l'algèbre des opérateurs sur un certain espace de Hilbert (que l'on construit en même temps que l'isomorphisme). La théorie des C*-algèbres peut donc se ramener à la théorie des opérateurs sur les espaces de Hilbert.

Remarques Le fait que les C*-algèbres commutatives sont des algèbres de fonctions permet de penser la théorie des C*-algèbres comme une théorie des fonctions non commutatives. Mais comme l'étude des fonctions continues sur un espace compact est équivalente à l'étude de la topologie de cet espace (par le théorème de Banach-Stone), on donne plus volontiers à l'étude des C*-algèbres le nom de .

Notes et références

Bruce Blackadar,2006, Operator algebras: theory of C*-algebras and von Neumann algebras, Springer Verlag Kenneth R. Davidson, 1996, C*-algebras by example, Fields Institute Monographs

Voir aussi Articles connexes

Analyse fonctionnelle : L'étude des C*-algèbres, notamment par son aspect spectral, est une branche de l'analyse fonctionnelle. Algèbre d'opérateurs : L'étude des C*-algèbres peut se ramener, par la construction GNS, à celle des opérateurs sur un espace de Hilbert. K-théorie : Les outils de K-théorie, développés d'abord pour l'étude des fibrés, peuvent être adaptés à l'étude des C*-algèbres. On obtient en quelque sorte une topologie algébrique non commutative. Géométrie non commutative : Ce domaine cherche des analogues aux notions de la géométrie différentielle (connexions, cohomologie…) dans le cadre non commutatif des algèbres d'opérateurs.

Algèbre de Calkin

Liens externes Pierre de la Harpe et Vaughan Jones,

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