vignette En géométrie, le théorème de Jung fournit une inégalité entre le diamètre d'un ensemble de points d'un espace euclidien et celui de la boule englobante minimum de cet ensemble. Il porte le nom du mathématicien allemand Heinrich Jung, qui a obtenu cette inégalité .
Énoncé Toute partie bornée non vide de l'espace euclidien de dimension est incluse dans une unique boule fermée de rayon minimal, et le diamètre de cette boule est relié au diamètre de la partie par les inégalités :Le cas d'égalité dans l'inégalité de droite est atteint par le simplexe régulier de dimension . vignette
Théorème de Jung dans le plan Le cas le plus commun du théorème de Jung est celui du plan euclidien avec = 2. Dans ce cas, le théorème assure qu'il existe un cercle entourant tous les points dont le diamètre satisfaitLe cas d'égalité est obtenu pour un triangle équilatéral.
Démonstration Existence d'une boule de rayon minimum : l'application qui, à tout point , associe la borne supérieure des distances de aux points de , est continue (car 1-lipschitzienne) et tend vers quand s'éloigne à l'infini, donc elle atteint son minimum , en un point , centre d'une telle boule de diamètre .
Unicité de : se déduit du théorème de la médiane.
Majoration : d'après le théorème de Helly, il suffit de la démontrer dans le cas où est fini et de cardinal inférieur ou égal à + 1. Notons alors () les points de dont la distance au centre vaut exactement . On se convainc rapidement par un argument variationnel que appartient à leur enveloppe convexe. Il existe donc des réelsPour chaque indice de 0 à on a alors :d'où, en sommant :ce qui conclut.
Le simplexe régulier de dimension a pour diamètre la longueur de ses côtés. Sa sphère circonscrite a pour diamètre qui est aussi le diamètre de sa boule englobante minimale, d'où l'égalité dans l'inégalité.
Références
(pour une partie finie du plan)
Voir aussi
Le théorème de Blashke qui affirme que dans un convexe du plan de plus petite largeur le disque de plus grand diamètre inclus a un diamètre . Sphère englobante Disque minimum Problème du recouvrement universel de Lebesgue
Jung Catégorie:Géométrie euclidienne Jung