thumb|Les satellites et les projectiles obéissent à la même loi.
La loi universelle de la gravitation ou loi de l'attraction universelle, formulée par Isaac Newton, est la loi décrivant la gravitation comme une force responsable de la chute des corps et du mouvement des corps célestes, et de façon générale, de l'attraction entre des corps ayant une masse, par exemple les planètes, les satellites naturels ou artificiels.
Il s'agit, parmi les quatre interactions élémentaires, de la première qui a été formulée.
Expression mathématique selon Newton Deux corps ponctuels de masses respectives et s'attirent avec des forces vectoriellement opposées et de même valeur absolue. Cette valeur est proportionnelle au produit des deux masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Ces 2 forces opposées ont pour axe commun la droite passant par les centres de gravité de ces deux corps.
La norme de la force exercée sur le corps par le corps est donnée par :
et en kilogramme (kg); d en mètre (m); et en newton (N)
où G est la constante gravitationnelle.
Dans les unités SI, le CODATA recommande la valeur suivante :
ou aussi avec une incertitude standard de ou aussi . On peut noter la proximité de la forme de cette formule avec la forme de la formule de la Loi de Coulomb sur les forces entre charges électrostatiques :
avec toutefois une distinction : la charge électrostatique peut être négative ou positive, alors que seul le cas de la masse positive est actuellement utilisé en physique habituelle.
Énergie potentielle de gravitation Voici le calcul menant à l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un corps ponctuel de masse m à une distance R d'un corps de masse M produisant le champ de gravitation :
D'où :
Cette formule est similaire à celle du potentiel électrostatique, qui est issu de la loi de Coulomb. Ainsi, tous les calculs de gravimétrie sont transposables en électrostatique et réciproquement, ce qui est une économie de pensée considérable.
Énergie potentielle d'une sphère homogène Soit un corps sphérique de rayon R et de masse volumique uniforme .
On peut démontrer que son énergie potentielle interne est égale à :
Histoire de la découverte de la force de gravitation Travaux antérieurs à Newton Chargé par Tycho Brahe d'étudier le mouvement des planètes, Johannes Kepler écrit ses conclusions dans l'ouvrage Astronomia nova où sont indiquées trois lois qui vérifient le mouvement des planètes et des astres, ces lois seront par la suite appelées lois de Kepler. Dans Harmonices Mundi, Kepler écrivit : « C'est comme si une force émane du Soleil ». Il y étudia la piste d'une force magnétique. Sur ces bases, à partir de la de Kepler, Isaac Newton développa sa théorie sur la gravitation.
200px|thumb|left|Portrait d'Isaac Newton (1643-1727) par Godfrey Kneller (1689).
Isaac Newton (1643-1727) publie son ouvrage fondamental, portant le titre Principes mathématiques de la philosophie naturelle (Philosophiæ naturalis principia mathematica) en 1687. Il y pose les fondations d'une nouvelle physique. Il y expose son système du monde et démontre les lois de Kepler à partir de la loi d'attraction universelle des massesNewton eut l'intuition géniale que le mouvement des planètes autour du Soleil, ou le mouvement de la Lune autour de la Terre, était régi par la même loi que celle qui fait tomber les corps (une pomme par exemple) au voisinage de la Terre. Ainsi, la Lune tombe à chaque instant vers la Terre d'une distance qui est exactement celle qu'il faut pour décrire son orbite courbe, compte tenu de la composante de vitesse tangente à sa trajectoire.. Selon celle-ci, deux points massiques quelconques de l'univers s'attirent avec une force qui est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare, et que la force agit le long de la direction qui les joint. Cette loi fera par la suite référence dans les domaines de la mécanique, de la mécanique céleste, de la géodésie et de la gravimétrie.
Sur la loi d'attraction des corps, les idées les plus vagues et changeantes ont circulé avant Newton, mais celui-ci ne fut pas le premier à penser que l'action diminuait avec la distance comme l'inverse du carré. Pour Roger Bacon, toutes les actions à distance se propagent en rayons rectilignes, comme la lumière. Johannes Kepler reprend cette analogie. Or, on savait depuis Euclide que l'intensité lumineuse émise par une source varie en raison inverse du carré de la distance à la source. Dans cette analogie optique, la (énergie mouvante) émanant du Soleil et agissant sur les planètes devrait suivre la même loi. Toutefois, en ce qui concerne la dynamique, Kepler demeure un péripatéticien, c'est-à-dire un disciple d'Aristote. Ainsi, pour lui la force est proportionnelle à la vitesse et non au taux de variation de la vitesse (à l'accélération), comme le postulera plus tard Newton. De sa deuxième loi (r v = constante), Kepler tirera donc la conséquence erronée suivante : la du Soleil sur les planètes est inversement proportionnelle à la distance du Soleil. Pour concilier cette loi avec l'analogie optique, il soutient que la lumière se répand de tous côtés dans l'espace, alors que la « » n'agit que dans le plan de l'équateur solaire.
Plus tard, Ismaël Boulliau (1605-1691) pousse jusqu'au bout l'analogie optique dans son ouvrage Astronomia Philolaïca, paru en 1645. Il soutient donc que la loi d'attraction est inversement proportionnelle au carré de la distance. Toutefois, pour Boulliau, l'attraction est normale au rayon vecteur, tandis que pour Newton elle est centrale. D'autre part, René Descartes se bornera à remplacer la « » de Kepler par l'entraînement d'un tourbillon éthéré. Il est suivi en cela par Roberval, qui est lui aussi un adepte de la théorie des tourbillons. Plus méritoirement, Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679) explique pourquoi les planètes ne tombent pas sur le Soleil en évoquant l'exemple de la fronde : il équilibre l'«instinct» que possède toute planète à se porter vers le Soleil par la « tendance » que possède tout corps en rotation à s'éloigner de son centre. Pour Borelli, cette « » (force répulsive) est inversement proportionnelle au rayon de l'orbite.
vignette|redresse|Portrait d'un mathématicien (collection particulière), portrait supposé de Robert Hooke vers 1680, par Mary Beale.
Robert Hooke, secrétaire de la « Royal Society », admet que l'attraction décroît avec la distance. En 1672, il se prononce pour la Loi en carré inverse, en se basant sur l'analogie avec l'optique. Cependant, ce n'est que dans un écrit daté de 1674 et intitulé « » (Un essai pour prouver le mouvement de la Terre à partir d'observations.) qu'il formule clairement le principe de la gravitation.. Il écrit en effet que .
Comme on le voit, Hooke avait formulé le premier la loi de l'attraction des planètes tout à fait correctement, mais il ne l'avait pas établieEn 1759 Alexis Clairaut, le mathématicien et éminent astronome français dans le domaine des études gravitationnelles, a fait sa propre évaluation, des travaux de Hooke en ce domaine : , Clairaut écrit : ... Pour valider son hypothèse de l'inverse carré, Hooke aurait dû connaître les lois de la force centrifuge. Or, les énoncés de celles-ci ne furent publiés par Huygens qu'en 1673 sous la forme de treize propositions annexées à son « ». En fait, Huygens avait rédigé dès 1659 un traité intitulé « » (Sur la force centrifuge), dans lequel ces lois étaient démontrées, mais celui-ci ne parut qu'en 1703, dans ses œuvres posthumes éditées par de Volder et Fullenius. Toutefois, dès 1684, Sir Edmond Halley (1656-1742), ami de Newton, applique ces théorèmes à l'hypothèse de Hooke. En utilisant la troisième loi de Kepler, il trouve la loi de l'inverse carré.
thumb|left|325px|Première édition des «Principia Mathematica» annotée de la main d'Isaac Newton. En 1687, Newton publie ses Principes mathématiques de la philosophie naturelle. Par une analyse analogue à celle de Halley, il formule la loi de l'attraction inversement proportionnelle au carré de la distance, en se fondant sur la troisième loi de KeplerPrincipes mathématiques de la philosophie naturelle D'après la traduction du latin en français par Émilie du Chatelet (1756), , corollaire 6 de la prop.4, et scholie .. Néanmoins, étant sans doute plus scrupuleux que ses précurseurs, Newton entend soumettre cette loi au contrôle de l'expérience. Aussi cherche-t-il à vérifier si l'attraction exercée par la Terre sur la Lune répond à cette loi et si l'on peut identifier cette attraction à la pesanteur terrestre, afin d'établir le caractère universel de l'attraction. Sachant que le rayon de l'orbite lunaire vaut environ 60 rayons terrestres, la force qui maintient la Lune sur son orbite serait, dans ces conditions, 60²=3600 fois plus faible que la pesanteur. Un « grave »Newton et ses contemporains désignaient un corps pesant sous le vocable latin « gravis », ce qui est lourd. C'est de là que nous proviennent les termes «gravitation», « gravité », « gravifique », etc. tombant en chute libre au voisinage de la surface terrestre parcourt dans la première seconde une distance de , ou . La Lune devrait donc tomber vers la Terre à raison d'un vingtième de pouce par seconde. Or, connaissant la période de révolution de la Lune et la dimension de son orbite, on peut calculer sa vitesse de chute. Avec la valeur acceptée en Angleterre en ce temps, Newton trouva seulement un vingt-troisième de pouce par seconde. Devant cette divergence, il renonça à sa théorie. Ce n'est que seize ans plus tard (en 1682) qu'il apprit au cours d'une réunion de la Royal Society la valeur du rayon terrestre déterminé en 1669 par l'astronome et géodésien français Jean Picard. Avec la valeur que Picard donnait pour le rayon de la Terre ()Une estimation précise du diamètre de la Terre a été publiée en 1684 dans les travaux posthumes de Jean Picard, Newton trouva que la vitesse de chute de la Lune était bien un vingtième de pouce par seconde, valeur qui confirmait sa théorie..
Parmi les propositions intéressant la mécanique céleste et la gravimétrie, on trouve dans les Principia mathematica plusieurs théorèmes sur l'attraction des sphères et des autres corps. Par exemple, Newton démontre que l'attraction gravifique d'un corps sphérique dont la masse est répartie sur des couches sphériques isopycniques est la même que celle d'un point massique situé au centre du corps et possédant la masse totale de celui-ci. Une autre conséquence importante de la théorie de Newton, détaillée aussi dans les Principia, est que la Terre doit être légèrement aplatie aux pôles du fait de la force centrifuge créée par la rotation de la Terre sur elle-même.
Compatibilité de l'hypothèse newtonienne avec la troisième loi de Kepler On part de la de Kepler, s'appliquant à tout astre du système solaire :
Avec a, demi grand-axe de l'orbite, T période (année de l'astre), k constante de gravitation.
Dans le cas d'une orbite circulaire, la de Kepler s'écrit :
où r est le rayon de l'orbite circulaire. En divisant les deux termes de l'équation par , on a :
Selon la loi fondamentale de la dynamique (seule la force de gravitation est prise en compte):
Or l'accélération centripète vaut , où est la vitesse tangentielle.
D'où :
Puisque, en cas d'une orbite circulaire, la seule accélération est centripète, selon la loi fondamentale de la dynamique, et la de Kepler on a :
En posant , avec G, constante de gravitation universelle et , masse du soleil, on obtient :
, loi de la gravitation reformulée par Newton.
Cela démontre que l'hypothèse d'une force agissant à distance entre objets massifs telle qu'émise par Newton est compatible avec la de Kepler, au moins pour des orbites circulaires.
Retentissement de la découverte