La liste mathématique suivante décrit les groupes finis (abéliens ou non abéliens) d'ordre inférieur ou égal à 20, à isomorphisme près.

+ Nombre de groupes pour chaque ordre de 1 à 20 Ordre 1234567891011121314151617181920Nombre de groupes abéliensPour des ordres plus grands, voir la .11121113211211151212Nombre de groupes non abéliensPour des ordres plus grands, voir la suite de l'OEIS.00000102010301090303 Nombre total de groupes, 1976, , .Pour des ordres plus grands, voir la suite de l'OEIS. 1112121522151211415.15.

Terminologie et notations Zn : le groupe cyclique d'ordre n (parfois noté Cn, il est isomorphe à Z/nZ). D2n : le groupe diédral d'ordre 2n. Sn : le groupe symétrique de degré n, contenant les n! permutations de n objets. An : le groupe alterné de degré n, contenant les n!/2 permutations paires de n objets. Dicn : le groupe dicyclique d'ordre 4n (généralisant les groupes de quaternions Q4n).

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; Gn désigne le produit direct de n copies du groupe G. G ⋊ H désigne un produit semi-direct où H agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Zn, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

Petits groupes abéliens

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques. Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles 1 groupe trivial = Z1 = S1 = A2 - de nombreuses propriétés triviales 2 Z2 = S2 = D2 - simple, plus petit groupe non trivial 3 Z3 = A3 - simple 4 Z4 Z2 - groupe de Klein = Z2 × Z2 = D4 Z2 (3) plus petit groupe non cyclique 5 Z5 - simple 6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2   7 Z7 - simple 8 Z8 Z4 , Z2 - Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)   Z23 Z22 (7) , Z2 (7) les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petit plan projectif fini), les Z2 × Z2 sous-groupes aux droites de ce plan 9 Z9 Z3   Z32 Z3 (4)   10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2   11 Z11 - simple 12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2   Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22   13 Z13 - simple 14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2   15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3   16 Z16 Z8 , Z4 , Z2   Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)</td>   Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 ×Z2 (6) ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe) Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2   Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)</td>   17 Z17 - simple

Petits groupes non abéliens On ne connaît pas de classification complète des groupes non abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit-Thompson) ; le plus petit est le groupe A5, d'ordre 60.

Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles6 S3 = D6Z3 , Z2 (3)plus petit groupe non abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral8D8Z4, Z22 (2) , Z2 (5)groupe des symétries du carrégroupe des quaternions = Q8 = Dic2Z4 (3), Z2plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe admettant un groupe quotient non isomorphe à l'un de ses sous-groupes 10D10Z5 , Z2 (5)groupe des symétries du pentagone régulier12D12 = D6 × Z2Z6 , D6 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)groupe des symétries de l'hexagone régulierA4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow)Dic3 = Z3⋊Z4Z2, Z3, Z4 (3), Z614D14Z7, Z2 (7)groupe des symétries de l'heptagone régulier16D16Z8, D8 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)groupe des symétries de l'octogone régulierD8 × Z2D8 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4 Q8 × Z2 groupe hamiltonienLe d'ordre 16 Le d'ordre 16 Z4⋊Z4 Le groupe engendré par les matrices de Pauli ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z22, mais ne lui est pas isomorphe G4,4 = Z22⋊Z4 

Notes et références

Voir aussi Article connexe Liste des groupes finis simples Liens externes Liste des groupes d'ordre inférieur ou égal à 31 dans :

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