Sous-groupe de Fitting

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le sous-groupe de Fitting d'un groupe est un de ses sous-groupes caractéristiques particulier. Il est nommé d'après le mathématicien allemand Hans Fitting. Il intervient de façon importante dans la théorie de l'analyse locale, une branche importante de l'étude des groupes finis.

Théorème de Fitting

Le théorème de Fitting, énoncé et démontré par Fitting en 1938H. Fitting, « Beiträge zur Theorie der Gruppen endlicher Ordnung », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 48, 1938, p. 77-141. (Référence donnée par J. S. Rose, A Course on Group Theory, 1978, réimpr. Dover 1994, p. 159 et 296.), peut s'énoncer comme suit :

Dans ce qui suit, on donne une démonstrationC'est essentiellement la démonstration donnée par W. R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 166. dans le langage des commutateurs de sous-groupes. On peut rédiger la démonstration en donnant la préférence aux commutateurs d'élémentsVoir par exemple ..

Si le groupe G est fini, le théorème de Fitting garantit que le sous-groupe F(G) de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G est lui-même normal et nilpotent. F(G) est alors le plus grand des sous-groupes normaux nilpotents de G (au sens de l'inclusion). De plus c'est un sous-groupe caractéristique de G. On pose dès lors la définition suivante :

On montreVoir par exemple . que si G est un groupe fini et que, pour tout diviseur premier p de l'ordre de G, on désigne par Op(G) l'intersection de tous les p-sous-groupes de Sylow de G (intersection qui est aussi le plus grand p-sous-groupe normal de G), alors F(G) est le produit direct des Op(G), où p parcourt les diviseurs premiers de l'ordre de G.

Sous-groupe de Fitting d'un groupe infini La définition peut s'étendre aux groupes infinis mais l'existence d'un groupe de Fitting tel que définit plus haut n'est alors plus garantie.

En effet, si le groupe G est infini, il n'a pas forcément un plus grand sous-groupe normal nilpotentL'exemple de la somme restreinte externe d'une suite infinie (Gn), où pour tout n, Gn est nilpotent de classe n, est donné par W. R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover 1987, exerc. 9.2.32, p. 222.. On sait par exemple que dans le groupe général linéaire GL(K), le sous-groupe formé des matrices triangulaires supérieures ayant des 1 sur la diagonale principale est nilpotent de classe n – 1. Il existe donc une suite infinie (Gn) telle que, pour chaque n, Gn soit un groupe nilpotent de classe n. Désignons par G la somme restreinte externe de la famille (Gn). Chaque Gn est un sous-groupe normal nilpotent de G et les Gn engendrent G. Donc, si G avait un plus grand sous-groupe normal nilpotent, ce sous-groupe serait G tout entier, donc G serait nilpotent. Soit alors c la classe de nilpotence de G; chaque Gn serait nilpotent de classe ≤ c, ce qui est faux si n > c.

On ne peut donc pas définir de façon générale le sous-groupe de Fitting d'un groupe comme le plus grand de ses sous-groupes normaux nilpotents. Certains auteursVoir par exemple . disent qu'un groupe (non forcément fini) G admet un sous-groupe de Fitting si et seulement s'il admet un plus grand sous-groupe normal nilpotent (et c'est alors ce sous-groupe qui est appelé le sous-groupe de Fitting de G). Selon cette définition, un groupe infini n'a pas forcément de sous-groupe de Fitting. D'autres auteursVoir par exemple , ou encore . définissent le sous-groupe de Fitting d'un groupe quelconque G comme le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G. Avec cette définition, tout groupe admet un sous-groupe de Fitting (qui n'est pas forcément nilpotent).

Notes et références

Sous-groupe de Fitting

Źródło i licencja