Un gaz de Fermi idéal est un état de la matière constitué d'un ensemble de nombreux fermions sans interaction. Les fermions sont des particules ayant un spin demi-entier (1/2, 3/2), comme les électrons, les protons et les neutrons ; la propriété essentielle des fermions est de ne pas pouvoir occuper en même temps le même état quantique, en raison du principe d'exclusion de Pauli.
Les fermions obéissent donc aux lois de la statistique de Fermi-Dirac, loi qui détermine la distribution d'énergie des fermions dans un gaz de Fermi en équilibre thermique et caractérise leur densité numérique, leur température et l'ensemble des états d'énergie disponibles. vignette|191x191px|Fig.1 - Une naine blanche de densité celle du Soleil, mais un bon exemple de gaz de Fermi à température nulle. Le modèle du gaz de Fermi (d'après le nom du physicien italien Enrico Fermi), bien que basé sur les principes de la mécanique quantique, a des applications dans tous les domaines de la physique : de l'infiniment petit (noyau de l'atome) à la cosmologie (dynamique stellaire) en passant par la physique du solide.
Dans sa formulation de base, il décrit un système uniforme de fermions : aux propriétés identiques dans tout l'espace, sans interaction, à température nulle (gaz de Fermi dégénéré). Apparemment très restrictives, ces hypothèses sont une très bonne approximation pour de nombreux systèmes dont la température thermodynamique n'est pas nulle (voir infra).
Les extensions du modèle tendent à s'affranchir de ces contraintes (voir infra) : température finie traitée à l'aide de la statistique de Fermi-Dirac ; systèmes non-uniformes dans l'espace, avec par exemple, l'approximation de Thomas-Fermi ; les effets relativistes dans l'expression de l'énergie.
Cet article est consacré d'abord à la présentation du calcul des grandeurs fondamentales d'un gaz de Fermi dégénéré, à température nulle : dans le cas modèle à 1 dimension, puis dans le cas plus réaliste à 3 dimensions ; lorsque le nombre de particules est limité, on peut effectuer un calcul discret ; lorsque le nombre de particules est très grand, on peut le traiter comme une variable continue.
Description générale Gaz de fermions vs. gaz de bosons vignette|Fig. 2 - Pression d'un gaz en fonction de la température : comparaison entre un gaz à la limite classique, un gaz de fermions et un gaz de bosons. La pression d'un gaz de fermions ne s'annule jamais. Un gaz de Fermi idéal (ou gaz de Fermi libre) est un modèle physique pour un ensemble de fermions sans interaction, dans un puits de potentiel constant, et donc homogène. Les fermions sont des particules élémentaires ou composites de spin demi-entier, qui suivent donc les lois de la statistique de Fermi-Dirac. Le modèle équivalent pour les particules ayant un spin entier (gaz de Bose pour un ensemble de bosons sans interaction) s'appuie sur la statistique de Bose-Einstein. Lorsque la densité numérique de particules est suffisamment faible et la température élevée, le gaz de Fermi et le gaz de Bose se comportent comme un gaz parfait classique.
En application du principe d'exclusion de Pauli, aucun état quantique caractérisé par un ensemble de nombres quantiques ne peut être occupé par plus d'un fermion. Ainsi, dans un gaz de Fermi libre (sans interaction), contrairement à un gaz de Bose, seul un petit nombre de particules peuvent occuper un domaine d'énergie donné ; donc un gaz de Fermi libre ne peut se condenser en un condensat de Bose-Einstein, où toutes les particules occupent le même état quantique. Pour qu'un gaz de Fermi puissent se condenser, il est nécessaire que les particules interagissent pour former des paires de Cooper (paires de fermions couplés de spin total 0), qui suivent la statistique de Bose-Einstein et peuvent former un condensat (voir par exemple la théorie BCS de la supraconductivité).
Caractéristiques du gaz de fermions L'énergie totale du gaz de Fermi au zéro absolu est supérieure à la somme des états fondamentaux à une seule particule, car le principe de Pauli agit comme une sorte d'interaction ou de pression (pression de dégénérescence) qui maintient les fermions dans des états excités, séparés et en mouvement. Cette énergie maximale des fermions à température nulle est appelée énergie de Fermi (voir infra). Pour la même raison, la pression d'un gaz de Fermi ne peut jamais s'annuler, même à température nulle, contrairement à celle d'un gaz parfait classique (voir figure 2). On associe à l'énergie de Fermi une température (température de Fermi), en dessous de laquelle le gaz peut être considéré comme dégénéré (sa pression dérive presque exclusivement du principe de Pauli). Cette température dépend de la masse des fermions et de la densité des états d'énergie (voir infra).vignette|350x350px| Fig. 3 - Illustration de l'occupation des niveaux d'énergie d'un gaz de Fermi : diagramme énergie-occupation pour un système à 7 niveaux d'énergie, l'énergie est dégénéré fois (il y a états qui ont une énergie de ) et a une occupation donnée par , avec . Par le principe d'exclusion de Pauli, est le nombre maximum de fermions de spin qui peuvent occuper un niveau d'énergie .
Pour certains systèmes, la température de Fermi est beaucoup plus élevée que leur température thermodynamique ; dans ce cas, la théorie du gaz à température est utilisable avec un bon niveau d'approximation. C'est le cas, par exemple des étoiles à neutrons (gaz de Fermi de neutrons) ou des naines blanches (un gaz de Fermi d'électrons).
Le modèle du gaz de Fermi idéal à température nulle s'applique aussi dans l'étude de la conduction des charges électriques dans un métal cristallin ; car, d'une part, l'hypothèse principale (modèle d'électrons libres) est que leurs interactions réciproques sont négligeables en raison de l'effet d'écran ; et que d'autre part, la température de Fermi est généralement de plusieurs milliers de Kelvin, bien au-dessus de la température du laboratoire.
Une extension du modèle à l'étude de la structure cristalline des métaux et des semi-conducteurs, s'appuie sur le modèle d'électrons quasi libres dans lequel les électrons dans un réseau cristallin sont remplacés par un vecteur d'onde avec une impulsion cristalline correspondante (cf. la théorie des bandes). Le modèle constitue le point de départ de théories plus avancées qui traitent des interactions, par exemple en utilisant la théorie des perturbations.
Propriétés d'un gaz uniforme à 1 dimension On suppose que le gaz de fermions est contenu dans un puits carré infini de longueur L ; l'énergie potentielle d'une particule est donc :
C'est un modèle standard en mécanique quantique pour lequel la solution de l'équation de Schrödinger est bien connue. Étant donné que le potentiel à l'intérieur de la boîte est uniforme, ce modèle est aussi appelé gaz uniforme 1D, même si le profil de densité numérique réel du gaz peut être non-uniforme, lorsque le nombre total de particules est petit.
Les niveaux sont labellisés par un seul nombre quantique n - strictement positif- et les énergies sont analytiquement calculables :
où est l'énergie du niveau de référence (qui peut être choisie arbitrairement), la masse d'un fermion, et est la constante de Planck réduite.
Pour les fermions (de spin ), les deux orientations possibles de spin (ou ) définissent deux états quantiques de même énergie ; selon le principe de Pauli, deux particules au plus pourront donc occuper le même niveau d'énergie (dégénérescence d'ordre 2). Dans la configuration pour laquelle l'énergie totale est la plus faible (l'état fondamental), tous les niveaux d'énergie jusqu'à n = N /2 sont occupés et tous les niveaux supérieurs sont vides.
Par rapport à l'énergie de référence , l'énergie de Fermi est donc donnée par :où est la partie entière de la fraction N /2.
Limite thermodynamique Dans la limite thermodynamique, le nombre total de particules N est si grand que le nombre quantique n peut être traité comme une variable continue. Dans ce cas, la densité numérique de particules dans la boîte peut être considérée comme uniforme.
Une caractéristique essentielle est la densité des états par unité de volume, en fonction de l'énergie :
est le volume dans ce cas (1D) ; c'est une fonction décroissante de l'énergie, ce qui est spécifique au puits carré, d'autres formes de puits de potentiel (puits parabolique, potentiel coulombien dans les atomes) conduisent à des densités d'états croissantes avec l'énergie.
On part du nombre d'états quantiques dans l'intervalle , qui tient compte de la dégénérescence des fermions de spin 1/2 :
En supposant que l''énergie de référence est choisie comme nulle, en traitant comme une variable continue :on obtient ainsi le nombre d'états quantiques dans un domaine d'énergie autour d'une énergie donnée :
Le taux de dégénérescence des états électroniques en fonction de l'énergie est donc :
Et la densité d'états en fonction de l'énergie vaut :
Dans la littérature, est parfois aussi appelée la "densité d'états", diffère alors de par un facteur de volume du système.
Dans la limite de la température thermodynamique nulle, le taux d'occupation des niveaux d'énergie est une fonction de Heaviside :
tous les niveaux au-dessus de l'énergie de Fermi sont inoccupés ; cette dernière est déterminée par la contrainte qu'il y a N fermions dans les états occupés : , d'où l'expression de l'énergie de Fermi :
On retrouve l'expression précédente à la limite des grands nombres . Propriétés d'un gaz uniforme en 3 dimensions vignette| Un modèle du noyau atomique le montrant comme un ensemble compact des deux types de nucléons : les protons (rouge) et les neutrons (bleu). En première approximation, le noyau peut être traité comme composé de protons et de gaz neutroniques sans interaction. Le cas du gaz de Fermi uniforme, isotrope et non relativiste à 3 dimensions, est connu sous le nom de « sphère de Fermi ».
Les particules sont confinées dans un puits carré infini tridimensionnel, (c'est-à-dire une boîte cubique d'arête L) ; l'énergie potentielle est donc :
Les états quantiques sont maintenant labellisés par trois nombres quantiques et , entiers strictement positifs. Les énergies des particules individuelles sont:
Dans ce cas, plusieurs états ont la même énergie (niveaux d'énergie dégénérés). Posant la constante et , et tenant compte du spin, les énergies et les dégénérescences des premiers niveaux sont :
Les niveaux d'énergie ne sont plus régulièrement espacés et leur dégénérescence est très variable.
Limite thermodynamique Comme dans le cas du puits à une dimension, on peut considérer le cas où N est si grand que les nombres quantiques et peuvent être traités comme des variables continues.
Énergie de Fermi Chaque état quantique peut être défini dans un espace à 3 dimensions par le vecteur , avec l'énergie
est le carré de la longueur euclidienne, .
Le nombre d'états d'énergie inférieure à est égal au nombre d'états qui se trouvent dans une sphère de rayon , dans la région de l'espace où sont positifs. Dans l'état fondamental, ce nombre est égal au nombre de fermions dans le système :.
Le facteur deux prend en compte les deux états de spin et le facteur 1/8 tient compte du fait que le calcul est limité à la fraction de la sphère qui se trouve dans la région où tous les n sont positifs :
L'énergie de Fermi (par rapport à l'énergie de référence ) est alors exprimée comme:
Cette équation relie l'énergie de Fermi et le nombre de particules par unité de volume (lorsque l'on fait apparaître le volume remplacé par ) :
L'énergie totale d'une sphère de Fermi de fermions (qui occupent tous les états d'énergie dans la sphère de Fermi) est donnée par :. .
Par conséquent, l'énergie moyenne par particule est donnée par :
Densité des états vignette|300x300px| Densité d'états (DOS) d'un gaz de Fermi en 3 dimensions