Développement décimal

Le développement décimal d'un nombre est une façon d'écrire un nombre réel en utilisant une suite ordonnée de chiffres de 0 à 9, suite finie ou non, éventuellement partitionnée par une virgule et, pour les nombres négatifs, précédée du signe "" . Tout nombre réel peut être représenté par une telle suite qui correspond à la décomposition de ce nombre en somme de puissances de dix, positives ou négatives, affectées des chiffres de cette suite : un développement décimal est donc une façon d'écrire un nombre en notation positionnelle de base dix.

Les nombres entiers non nuls, et plus généralement les nombres décimaux non nuls, ont plusieurs développements décimaux. On peut par exemple écrire le nombre deux comme ou ou encore Et écrire le nombre -4/10 comme ou ou encore

Les nombres rationnels non décimaux ont un seul développement décimal, et celui ci est illimité et périodique. Ainsi, par exemple, le développement décimal de 13/7 est , où la période "" se répète à l'infini.

Les nombres irrationnels ont un seul développement décimal et celui-ci est illimité et non périodique. Ainsi, par exemple, le développement décimal du nombre π commence par

Cas des nombres entiers Tout nombre entier naturel comme relatif peut être écrit sous une forme qui semble naturelle, puisqu'elle est enseignée dès l'enfanceTous les raisonnements et démonstrations contenus dans cet article sont valables tant pour les réels positifs que pour les réels négatifs. En effet, en remarquant que tout réel négatif peut être écrit comme , où est un réel positif, les développements décimaux de , discutés et démontrés dans l'article, donnent immédiatement ceux de : il suffit de les faire précéder du signe "-". Pour alléger le texte de l'article, tous les nombres qui y sont mentionnés sont donc, sauf exception dûment signalée, réputés positifs.. Cet enseignement transmet l'idée que le nombre s'écrivant se lit "trois mille huit cent vingt sept" et vaut . Ce n'est que plus tard que cette affirmation sera précisée : cette égalité est valable parce que la notation utilisée est la notation positionnelle de base dix.

De façon plus générale et plus formelle, tout entier naturel peut se décomposer en une somme finie de puissances (positives ou nulle) de affectées de coefficients entiers (positifs ou nuls) inférieurs ou égaux à et s'écrire en notation positionnelle de base dix comme suit :

Avec entier naturel, éventuellement nul, et entier naturel tel que .

En outre, si on ajoute la condition que le premier coefficient de cette écriture () ne peut être nul sauf si Cette hypothèse est souvent faite de façon implicite dans les ouvrages traitant des développements décimaux. Elle est appliquée dans tout l'article., cette décomposition et cette écriture sont uniques. Et la suite de chiffres est appelée développement décimal fini de .

Attention : un nombre entier a aussi d'autres développements décimaux. Par exemple le nombre entier onze a un développement décimal fini qui s'écrit qui est l'écriture abrégée de son développement propre illimité qui s'écrit . Et onze a en outre un développement impropre (illimité) qui s'écrit Ces différents développements décimaux d'un entier sont introduits et expliqués dans les chapitres de l'article consacrés aux nombres décimaux, rationnels et réels..

Extension aux entiers négatifs : les développements décimaux d'un entier relatif négatif sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de précédés du signe "". Ainsi, par exemple : .

Cas des nombres décimaux Un nombre décimal est un nombre rationnel représentable par une fraction la forme où est un entier relatif et un entier naturel. De façon équivalente, un nombre décimal est aussi un nombre rationnel représentable par une fraction où la décomposition en facteurs premiers de ne comprend que les entiers premiers et .

Tout nombre décimal possède un développement décimal finiUn développement décimal est dit "fini" s'il est écrit avec un nombre fini de puissances de dix affectées d'un coefficient non nul. Dans le cas contraire, il est dit "illimité". comportant éventuellement des puissances de dix à exposant négatif et les exposants non nuls du développement de sont tous supérieurs ou égaux à .

Réciproquement, tout nombre possédant un développement décimal fini est un nombre décimal car il suffit de le multiplier par une puissance de dix adéquate pour retomber sur un entier.

Exemple :

Et : .

De façon plus formelle, un nombre est décimal si et seulement s'il a un développement décimal fini, c'est-à-dire qu'on peut le décomposer et l'écrire en base dix comme suit :

……

Avec :

: entier naturel, éventuellement nul

: entier naturel non nul

: entier naturel tel que

: entier naturel tel que

On remarque que cette formulation donne aussi le développement décimal fini des entiers, qui sont des décimaux "sans chiffre derrière la virgule", ou, de façon équivalente, chez lesquels et .

Attention, un nombre décimal non nul a aussi un autre développement décimal illimité dénommé "développement impropre". Ainsi, par exempleLes justifications des égalités ci-dessous sont développées dans les chapitres consacrés au développement décimal des rationnels et des réels.:

le nombre entier onze a un développement décimal fini qui s'écrit . Ce développement fini est l'écriture abrégée de son développement propre illimité qui s'écrit . Onze a en outre un développement impropre (illimité) qui s'écrit le décimal 12/10 a un développement décimal fini qui s'écrit ainsi qu'un développement propre illimité qui s'écrit ... et un développement impropre (illimité) qui s'écrit Extension aux décimaux négatifs : comme pour les entiers, les développements décimaux d'un nombre décimal négatif sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de précédés du signe "". Ainsi, par exemple : .

Cas des nombres rationnels

Caractérisation du développement décimal d'un nombre rationnel Le développement décimal d'un nombre rationnel non nul peut être calculé pas à pas à partir de sa représentation en fraction irréductible en faisant la division euclidienne de par :

si la décomposition en facteurs premiers de ne contient que des puissances de et de , alors le nombre est décimal, et cette méthode permet, en un nombre fini d'étapes, de trouver le développement décimal fini de ce rationnel ; si la décomposition en facteurs premiers de contient des puissances de nombres premiers autres que et , alors le rationnel n'est pas décimal et ce processus (ou cet algorithme) n'a pas de fin. En effet le développement décimal d'un rationnel non décimal est illimité et périodique : après un certain rang derrière la virgule, il est composé de la répétition à l'infini d'une même séquence de chiffres non tous nuls, appelée périodeCertains auteurs qualifient ces développements de "ultimement périodiques" pour indiquer que la période peut ne commencer qu'à un certain rang après la virgule. Dans le texte de cet article "périodique" sera considéré comme synonyme de "ultimement périodique"..

Ainsi, par exemple :

: la période "" se répète à l'infini

: la période "" se répète à l'infini

La période n'apparait pas toujours immédiatement après la virgule mais, dans certains cas, seulement à partir d'un certain rang. Par exemple :

Et tout nombre décimal possède un développement décimal illimité de période , comme vignette|300x300px|Division de 13 par 7 et développement décimal de 13/7.

En posant la division de par , on peut comprendre pourquoi la période apparait et se répète indéfiniment : la première étape de la division donne comme reste , et les étapes suivantes les quotients et les restes . Puisque l'on obtient le reste , en abaissant le , on se trouve de nouveau à diviser par (comme à la deuxième étape), donc obtenir de nouveau le quotient et le reste , etc.

Cette constatation peut être généralisée et démontréeTout nombre rationnel possède un développement décimal illimité périodique. Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q. Les restes de la division sont en nombre fini (0, 1, ..., Q – 1), donc on ne peut pas prolonger indéfiniment la division sans rencontrer deux restes identiques. Si on appelle r1 et r1 les deux premiers restes identiques, on voit que la division de 10r1 par Q sera identique à celle de 10r1 par Q, et donnera le même quotient q1 = q1 et même reste r2 = r2 et ainsi de suite., ainsi que sa réciproque, pour aboutir au théorème suivant : un nombre non nul est rationnel si et seulement si il a un développement périodique.

Il est assez facile de convertir un développement décimal périodique en fraction : Exemple :

On remarque que si est rationnel l'est aussi. Les raisons pour lesquelles il est possible et légitime de multiplier un nombre s'exprimant sous forme d'un développement décimal de la forme 0,(période)(période)(période)...et ainsi "déplacer la virgule" sont liées à la définition formelle d'un tel développement comme la limite à l'infini d'une série convergente. Elles sont justifiées dans le chapitre dédié au cas général du développement décimal des réels.

Donc : et D'où : est donc rationnel et aussi.

La méthode se généralise pour tout développement décimal illimité périodique. On se débarrasse de la mantisse par une multiplication par la puissance de dix adéquate et par la soustraction d'un nombre entier. On obtient alors un nombre y s'écrivant "0,périodepériodepériode..." sur lequel on effectue le même type d'opération que plus haut : multiplication par la puissance de 10 adéquate pour obtenir 10ny = période + y. Et la résolution de l'équation prouve que y est rationnel et donc x également.

Longueur de la mantisse et de la période Il est possible de déterminer rigoureusement la longueur de la mantisse et celle de la période du développement décimal de tout nombre rationnel grâce à l'approche suivante :

On note que tout nombre rationnel non entier peut se décomposer en : où est la partie entière de , et sa partie décimale (). Comme et sont rationnels, l'est aussi. Donc avec et premiers entre eux et . On définit ensuite les entiers et tels que avec impair non divisible par , puis on définit comme . On démontre que a comme développement décimal , donc que celui de est , avec les caractéristiques suivantes:

Si : tous les sont nuls et ainsi que sont décimaux ; Si : le développement décimal de comme celui de sont périodiques à partir de la ème décimale, et la période est de longueur où est le plus petit entier non nul tel que le reste de la division par soit égal à ; La longueur de la mantisse est et celle de la période est .

Exemples d'application :

Sans calculer le développement décimal de , on sait que sa mantisse a deux chiffres (car ) et que sa période en a trois (car ). Et, en posant la division de par , on trouve : qui a bien les caractéristiques attendues ;

Un rationnel a un développement décimal sans mantisse si et seulement si il peut s'écrire comme une fraction irréductible avec q impair et non divisible par : en effet si est pair ou multiple de , la mantisse aura une longueur non nulle. Ainsi, on peut affirmer sans calcul que le développement décimal de n'a pas de mantisse. Et en le calculant, on trouve en effet : . Réciproquement, en considérant le nombre on peut affirmer, sans calcul, qu'il est rationnel et peut s'écrire sous une forme irréductible du type avec impair non divisible par . Et en utilisant la méthode énoncée plus haut, on trouve en effet que .

Extension aux rationnels négatifs Comme pour les décimaux, les développements d'un nombre rationnel négatif sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de précédés du signe "". Ainsi, par exemple : .

Cas particulier de 0,99999999....