En astronomie, l'équation de Kepler est une formule liant, dans une orbite, l'excentricité e et l'anomalie excentrique E à l'anomalie moyenne M. L'importance de cette équation est qu'elle permet de passer des paramètres dynamiques du mouvement d'un astre (l'anomalie moyenne) aux paramètres géométriques (l'anomalie excentrique). Cette équation a été établie par Kepler dans le cas des orbites elliptiques, en analysant les relevés de position de la planète Mars effectués par Tycho Brahe J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex observationibus G. V. Tychonis Brahe, The Warnock Library, 1609. Elle fut ensuite généralisée aux autres formes d'orbites (paraboliques, hyperboliques, quasi-paraboliques, rectilinéaires) à l'aide des principes de la mécanique newtonienne.
Présentations de l'équation de Kepler L'équation de Kepler en tant que telle est celle établie par Kepler pour les orbites elliptiques. Elle peut cependant être déclinée en plusieurs formes pour couvrir tous les cas d'orbites.
Cas de l'orbite elliptique L'équation de Kepler en orbite elliptique est :
ou désigne l'excentricité, l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne définie par :
avec le moyen mouvement :
le temps et étant l'instant du passage au périastre. est la période orbitale.
Le mouvement moyen peut être aussi exprimé par :
où est la constante universelle de la gravitation et les masses des deux corps le demi-grand axe de l'ellipse ; étant le paramètre de l'ellipse
L'équation de Kepler, associée au lien entre l'anomalie excentrique et l'anomalie vraie
permet de déterminer la position au cours du temps d'un astre sur son orbite.
Cas de l'orbite hyperbolique En cas d'orbite hyperbolique (), on peut démontrer analytiquement une relation équivalente à l'équation de Kepler :
où désigne le sinus hyperbolique.
M est défini de la même manière que dans le cas elliptique, avec l'expression du moyen mouvement suivant :
L'argument H n'est plus un angle comme c'est le cas de E dans le mouvement elliptique. H est dans ce cas liée à l'anomalie vraie v par :
Cas de l'orbite parabolique L'équation de Kepler n'est pas définie dans le cadre du mouvement parabolique (). Elle est remplacée par l'équation de Barker , An account of dicoveries concerning comets, with the way to find their orbits, and some improvements in constructing and calculating their places, Londres, 1757.
avec
et
Cette équation cubique peut être résolue de manière analytique par la méthode de Cardan.
Expression universelle de l'équation de Kepler Par un changement de variable, les équations de Kepler elliptiques, paraboliques et hyperboliques peuvent être regroupées en une seule équation "universelle" R. H. Battin, Astronomical Guidance, McGraw-Hill, NewYork, 1609, chap. 2 , « On the application of spinors to the problems of celestial mechanics », dans NASA technical note D-4447, NewYork, 1968, chap. 2. Une des expressions possible est :
avec le périastre , et . est positif pour les orbites elliptiques, nul pour les orbites paraboliques et négatif pour celles hyperboliques. La nouvelle variable est définie par :
et la fonction est une des fonctions de Stumpff, qui s'écrit dans le cas général :
La détermination de d'après l'équation universelle permet de déterminer la position du corps sur son orbite par :
Les fonctions et étant définies de la même manière que plus haut.
Orbites rectilinéaires Les orbites rectilinéaires sont des cas limites des autres orbites, en faisant tendre la distance au périastre vers zéro tout en conservant le demi grand axe constant : l'orbite tend alors vers un segment ou une demi-droite. Pour le cas des orbites elliptiques et hyperboliques, cela suppose de faire tendre l'excentricité vers 1, car demi grand axe , excentricité et périastre sont liés par . Il existe donc trois types d'orbites rectilinéaires : elliptiques, paraboliques et hyperboliques. En pratique, une partie seulement de ces orbites est décrite par l'astre, aboutissant soit à une collision, soit à une évasion. Certaines comètes kamikazes détectées par les observatoires solaires spatiaux (SoHO, SDO…) ou bien des tronçons d'orbites de sondes interplanétaires sont proches des orbites rectilinéaires.
Pour l'orbite rectilinéaire elliptique, l'équation de Kepler devient :
avec l'anomalie moyenne définie par :
L'anomalie vraie n'ayant plus de signification pour une orbite rectilinéaire, la position de l'astre est définie par sa distance le séparant de l'astre principal r:
Pour l'orbite rectilinéaire hyperbolique, l'équation de Kepler devient :
et la position de l'astre :
étant négatif pour les orbites hyperboliques
Enfin, pour l'orbite rectilinéaire parabolique :
avec et
et la position de l'astre :
Résolution de l'équation de Kepler L'équation de Kepler
permet de calculer de manière directe la date (liée à ) correspondant à une position donnée (liée à ), par exemple déterminer la date des équinoxes. Par contre le problème inverse, déterminer la position d'une planète pour une date donnée, nécessite la détermination de , connaissant et . Ce problème ne peut pas être résolu de manière simple.
Résoudre l'équation de Kepler, c'est trouver : comme série de Fourier puisque c'est une fonction périodique impaire de comme série entière de , si , rayon de convergence de la série. comme une valeur numérique avec un nombre de chiffres (), pour un temps de calcul optimisé.
Série de Fourier C'est Lagrange qui trouve l'expression, bien que le nom soit associé au nom de Bessel.
est une fonction impaire périodique de :
où est la fonction de Bessel de d'ordre .
Série entière de l'excentricité C'est encore Lagrange qui trouve la solution, que Laplace complétera en donnant le rayon de convergence. Ces travaux inspireront CauchyA. Cauchy, « Mémoire sur divers points d'analyse », dans Mémoires de l'Académie royale des sciences (Paris), vol. 8, 1829, ., qui fondera la théorie des séries analytiques pour résoudre ce problème épineux ; celui-ci verra son aboutissement avec les travaux de Puiseux.
L'application du théorème d'inversion de série de Lagrange fournit :
avec
Le rayon de convergence minimum de la série, qui dépend de , est atteint pour , et est égal à la constante limite de Laplace tel qu'indiqué par Laplace (1823) et démontré par Cauchy et Puiseux : et tel que .
Ceci rend cette formule inapplicable pour déterminer la position des comètes, dont l'excentricité est souvent voisine de 1.
Les premiers termes sont :
Note : il est possible d'obtenir ce développement en série en remplaçant dans la série de Fourier précédente les fonctions de Bessel par leur développement limité :
On obtient alors le développement limité beaucoup plus simplement que par la méthode de l'inversion de série :
Il est à noter que bien que la série de Fourier converge pour , et que les développements des fonctions de Bessel aient un rayon de convergence infini, le résultat après réorganisation des termes ne converge que pour
Cas des comètes : Le premier à se confronter au problème est Horrocks, puis surtout Halley E. Halley, « Astronomiae cometicae synopsis », dans Philosphical Transactions of the Royal Society, vol. 24, 1705, , pour les calculs sur sa comète d'excentricité .
Plusieurs solutions ont été proposées en modifiant légèrement l'équation de Barker (). La solution proposée par Bessel (1805) couvre le domaine . Gauss C. F. Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium, Hamburg, Perthes & Besser, 1809, . s'illustra en donnant une belle solution pour .
Une généralisation de l'équation de Barker est un développement en série convergeant d'autant plus rapidement que l'excentricité est proche de 1, ce qui s'avère bien adapté aux cas des comètes (cette série s'applique aussi aux orbites légèrement hyperboliques) :
qui a pour rayon de convergence :
avec
étant l'anomalie vraie, la constante gravitationnelle de Gauss, et étant respectivement l'excentricité et le périastre de l'orbite, le temps et étant l'instant du passage au périastre.
Lorsque , la série se réduit à l'équation de Barker.
Calcul numérique L'équation de Kepler peut être résolue à l'aide d'un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction. Les méthodes du type encadrement, méthode de dichotomie, méthode de la fausse position nécessitent un encadrement de départ dans lequel la racine est présente. Du fait de la périodicité et la parité de l'équation de Kepler, il est toujours possible de ramener l'intervalle de départ à . Ceci fournit un encadrement de départ pour ces méthodes, mais il est aisé d'en trouver de plus fins.
Les méthodes du type point fixe nécessitent une estimation de départ de la racine, le germe de la méthode , pour lancer les calculs : il en existe de multiples dans la littérature, dont la plus simple est .
La méthode de type point fixe la plus simple, celle utilisée par Kepler, est :
converge lentement lorsque est proche de 1. Il est alors avantageux de lui adjoindre un algorithme d'accélération de la convergence : le Delta-2 de Aitken, par exemple, ou la variante de Steffensen.
L'équation de Kepler se prête particulièrement bien aux algorithmes nécessitant le calcul des dérivées successives élevées, du fait du faible coût en calcul machine nécessaire. En effet :
Les dérivées suivantes se déduisant cycliquement des précédentes. Les variantes de la méthode de Newton et de Halley d'ordres plus élevés sont donc très performantes dans ce cas. Il est à noter que ces méthodes peuvent dans certains cas avoir des difficultés à converger ( proche de 1 et proche de 0). Il est préférable dans ces zones soit de proposer une valeur de départ moins grossière (germe de Mikkola (Seppo Mikkola) ou de Markley), soit de brider les méthodes itératives pour les forcer à converger (modification de Hamming de la méthode de Newton), ou d'utiliser des méthodes itératives à convergence moins locale (méthode de Laguerre).
Exemple Lors de son dernier passage en 1986, la comète de Halley a eu la visite de la sonde Giotto. Les données nécessaires pour déterminer la position de la comète lors de cette rencontre sontMinor Planet Circular 10634 (24 avril 1986): date du passage au périhélie : à 10:59:55 UTC date de la rencontre : à 00:03:00 UTC, soit = 32,54328 jours excentricité de l'orbite : distance au périhélie : , soit le demi grand axe et le moyen mouvement .
L'anomalie moyenne vaut
L'équation de Kepler à résoudre est :
En partant de et en utilisant la méthode de Newton, thumb|Graphique représentant le nombre d’itérations (de noir=0 à blanc=255 ou plus) nécessaires à la méthode de Newton pour résoudre l'équation de Kepler avec une valeur initiale égale à . Pour chaque couple , la couleur du point indique le nombre d'itérations
on trouve successivement :
… (les valeurs suivantes étant identiques) On en déduit l'angle de position de la comète sur son orbite (l'anomalie vraie)
La distance de la comète au soleil se calcule par = 0,902374257 UA (légèrement inférieure à la distance terre-soleil)
La vitesse de la comète vaut soit
Les itérations ne se passent pas toujours aussi bien pour les comètes, comme l'expose le graphique ci contre. Pour des excentricités au-delà de 0.97, la convergence est incertaine avec comme point de départ des itérations . D'autres points de départ plus précis permettent d'éviter cet écueil.
Dans le cas des comètes, la résolution de la généralisation quasi-parabolique de l'équation de Barker pose deux problèmes :