En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle argument de Frattini le théorème suivant : si G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H, alors G = H N(P) (où N(P) désigne le normalisateur de P dans G).
Démonstration
Dans les hypothèses ci-dessus (G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H), prouvons que G = H N(P). Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g appartient à H N(P). Puisque H est supposé normal dans G, l'automorphisme intérieur x ↦ gxg de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H. L'image gPg de P par cet automorphisme de H est un sous-groupe de Sylow de H du même ordre que P, donc gPg est conjugué de P dans H. Ceci signifie qu'il existe un élément h de H tel que gPg = hPh. Alors hgPgh = P, autrement dit hg ∈ N(P), d'où g ∈ H N(P), ce qui, comme nous l'avons vu, démontre le théorèmeCette forme de l'énoncé et cette démonstration sont données par exemple dans D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, éd., Springer, 1996, énoncé 5.2.14, p. 136..
Exemple d'utilisation
L'argument de Frattini permet par exemple de démontrerVoir , énoncé 5.14. que si G est un groupe fini, P un sous-groupe de Sylow de G et M un sous-groupe de G contenant N(P) (normalisateur de P dans G), alors M est son propre normalisateur dans G. (Appliquer l'argument de Frattini au groupe N(M), à son sous-groupe normal M et au sous-groupe de Sylow P de M. On trouve . Il est clair que , donc le second membre de (1) est égal à M, d'où .)
Généralisation
L'argument de Frattini admet la généralisation suivantePour une preuve de la première forme de l'argument à partir de cette généralisation, voir par exemple , que certains auteursVoir par exemple , énoncé 3.1.4. appellent elle aussi argument de Frattini :
Histoire
L'argument de Frattini (sous sa forme particulière) fut énoncé et démontré par Giovanni Frattini en 1885, dans un article G. Frattini, « Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni », Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, série 4, vol. 1, 281-285 et 455-457. (Recension dans European Mathematical Information Service, Electronic Research Archive for Mathematics, Jahrbuch Database, en ligne.) Référence à cet article à propos de l'argument de Frattini dans . où il introduisait la notion de sous-groupe de Frattini.
Notes et références
Catégorie:Théorie des groupes