Modèle linéaire généralisé

En statistiques, le modèle linéaire généralisé (MLG ou GLM pour generalized linear model en anglais), est une généralisation souple de la régression linéaire. Le GLM généralise la régression linéaire en permettant au modèle linéaire d'être relié à la variable réponse via une fonction lien et en autorisant l'amplitude de la variance de chaque mesure d'être une fonction de sa valeur prévue, en fonction de la loi choisie.

Historique La théorie des modèles linéaires généralisés a été formulée par John Nelder et comme un moyen d'unifier les autres modèles statistiques y compris la régression linéaire, la régression logistique et la régression de Poisson. Ils proposent une méthode itérative dénommée méthode des pour l'estimation du maximum de vraisemblance des paramètres du modèle. L'estimation du maximum de vraisemblance reste populaire et est la méthode par défaut dans de nombreux logiciels de calculs statistiques. D'autres approches incluant les statistiques bayésiennes et la méthode des moindres carrés convenant aux réponses à variance stabilisées, ont été développées.

Présentation formelle

Le modèle Soit

où est l'espérance mathématique de conditionnelle à ; est le prédicteur linéaire, c'est-à-dire une combinaison linéaire des variables explicatives, et où est une fonction monotone appelée fonction de lien.

De plus

où est appelée fonction variance, qui dépend la loi (au sein de la famille exponentielle)

La fonction de lien La fonction de lien est la fonction qui permet de passer du prédicteur linéaire à la moyenne de la distribution . L'objectif est de passer d'une distribution non normale, non distribuée sur , à une fonction qui l'est et qui peut donc être analysé comme tout modèle linéaire. Pour les distributions les plus courantes, les fonctions canoniques sont résumées dans le tableau suivant : +DistributionDomaineUsagesNom de la fonctionFonction de lien, Fonction de la moyenne NormaleRéel : IdentitéLaplaceExponentielleRéel : Inverse négativeGammaInverse-gaussienneRéel : Inverse carréPoissonEntiers : LogBernoulliEntiers : LogitBinomialeEntiers : MultinomialeK-vecteur d'entiers :

Notes et références

Bibliographie Gill, Jeff. 2000. Generalized Linear Models: A Unified Approach. SAGE QASS Series.

Articles connexes Modèle additif généralisé Modèle probit Régression logistique Régression de Poisson

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