En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Définition
On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u) à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments et de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : .
Remarque On peut toujours ramener l'étude d'une suite (u) à celle d'une suite (v) en posant v = u. La suite (u) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n si et seulement si la suite (v) est arithmético-géométrique.
Terme général Cas où Pour le cas , on a affaire à une suite arithmétique, donc .
Cas où En posant :
on a :
(y compris si et sont nuls, avec la convention 0 = 1).
D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement : .
Somme des premiers termes
Si , toujours en posant , la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est : .
On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour , .
Convergence
Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de et, éventuellement, le signe de (si et ).
Dans le cas où , la limite de la suite est quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.
Utilisation
Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).
Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :
.
Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital emprunté à un taux mensuel et remboursé par mensualités conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si représente le capital restant dû au bout de mensualités, la suite est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :
.
On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états A et B dont les probabilités sont, à l'étape , et avec . La matrice stochastique est alors : .
De la relation
on déduit que : . Comme d'autre part , en remplaçant on obtient la relation de récurrence: .
Notes et références
Voir aussi
Suite arithmétique Suite géométrique
Catégorie:Mathématiques élémentaires Arithmetico-geometrique