En mathématiques, dire qu'une fonction à valeurs dans est intégrable est polysémique. Cela signifie usuellement que (barres de valeur absolue) admet une intégrale généralisée (au sens de Riemann). Toutefois, stricto sensu, cela signifie simplement que vérifie cette condition. Dans cet article, on opte pour la première définition (avec valeurs absolues).
On étend naturellement la définition à l'ensemble d'arrivée (en remplaçant la valeur absolue par le module), ou même à un espace vectoriel normé (en remplaçant la valeur absolue par la norme).
Enfin, on étend la définition à l'intégrale au sens de Lebesgue.
Intégrales généralisées de Riemann
On travaille ici avec des intégrales généralisées (au sens de Riemann) car on intègre sur un intervalle quelconque.
Soit un intervalle de d'extrémités . Soit .
Définition
Soit une fonction . On dit que est intégrable si l'intégrale existe. Pour tout intervalle non vide , on dit que est intégrable sur si sa restriction à l'est.
Si est continue, l'intégrabilité implique l'existence de . La réciproque est fausse.
Il s'agit d'une notion polysémique : on veillera à connaître les conventions des auteurs. Certains emploient plutôt « absolument convergente » pour dire que existe, ou emploient « intégrable » pour l'existence de , ou imposent en plus que soit continue par morceaux.
On peut considérer la présente définition comme la généralisation continue de la somme des familles sommables (notion discrète). Certains auteurs proposent une formalisation semblable.
Critères d'intégrabilité
Soit intégrable sur tout intervalle fermé de (typiquement, continue).
On pose, pour tout , (on notera qu'on intègre ici sur des intervalles fermés ; il ne s'agit que d'intégrales de Riemann basiques, non impropres). Ces fonctions sont essentielles dans l'étude de l'intégrabilité. Résultat important, d'après les propriétés de l'intégrale de Riemann, elles sont croissantes et continues.
Critère par limites
Pour montrer l'intégrabilité, le critère naturel découlant de la définition est :
est intégrable : si et seulement si pour tout , admet des limites finies en et en ; si et seulement s'il existe un tel que admette des limites finies en et en .
Le cas échéant, l'intégrale vaut , avec un élément quelconque de Le cours sur les intégrales généralisées montre que la valeur ne dépend pas de ..
Critère par bornage
Un critère puissant, sans limites, est :
est intégrable : si et seulement si pour tout , est bornée ; si et seulement s'il existe un tel que soit bornée.
Propriétés Soient .
Si est intégrable sur tout intervalle fermé de (typiquement, continue). Si et sont bornés, est intégrable. Si est intégrable et si , alors est intégrable.
Si est un intervalle fermé, l'existence de implique l'intégrabilité de .
Si sont intégrables, toute combinaison linéaire de et est intégrableDéjà, est intégrable sur tout intervalle fermé, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que ..
Si , est intégrable si et seulement si et le sontPour le sens direct, remarquer déjà que et sont intégrables sur tout intervalle fermé, par les propriétés de l'intégrale de Riemann. Ensuite, remarquer que . Pour le sens indirect, remarquer que et user de la stabilité par combinaisons linéaires..
On notera que, contrairement au cas de l'intégrale sur un intervale fermé, il n'y a plus conservation du caractère « être intégrable » par produitPar exemple, est intégrable mais son carré non (cf. exemples)..
Dans le cas où est continue, on a les propriétés suivantes :
Si est intégrable, existe. Si est un intervalle fermé, l'existence de équivaut à l'intégrabilité de . Si , alors L'hypothèse de continuité est indispensable : considérer une fonction nulle partout sauf en un point..
Exemples
Pour , la fonction est : si : non intégrable sur , intégrable sur ; si : non intégrable sur , non intégrable sur ; si : intégrable sur , non intégrable sur Pour une preuve, voir ce lien.. La fonction est intégrableElle est en effet continue, et, posant (fonction intégrable), on a .. Étant continue, elle admet donc aussi une intégrale. La fonction est intégrable mais n'admet pas d'intégraleL'intégrabilité est triviale. Pour montrer le second point, passer par les intégrales de Darboux en montrant que l'intégrale inférieure vaut -1 et la supérieure vaut 1.. Inversement, la fonction admet une intégrale mais n'est pas intégrablePour une preuve, voir ce lien.. On dit dans ce cas que l'intégrale de est semi-convergente.
Intégrales de Lebesgue
Soient un espace mesuré. Soit une fonction -mesurable de dans (droite réelle achevée) ou . On dit que est intégrable (au sens de Lebesgue) si :
Intégrales de Kurzweil-Henstock
Notes et références Notes
Références
Articles connexes Intégrale de Riemann Intégrale généralisée Intégrale de Lebesgue
Catégorie:Théorie de l'intégration