Cube parfait

vignette|Les 5 premiers cubes parfaits non nuls. En mathématiques, un cube parfait (un cube s'il n'y a pas ambiguïté) est le cube d'un entier naturel"cube" employé seul fait en général référence au cube d'un entier pouvant être négatif (par exemple dans l'article somme de trois cubes) ; il faut donc manier l'expression avec précaution..

Le cube de l'entier , généralement noté , est obtenu en multipliant deux fois par lui même :

Les cubes parfaits constituent la , dont les premiers éléments sont : Puissance012345678910111213141516Résultat01827641252163435127291000133117282197274433754096

Un nombre cubique, défini comme un cube parfait non nul, peut être associé à l'objet géométrique cube et à son volume.

Propriétés Les mathématiciens se sont beaucoup intéressés aux propriétés relatives aux nombres cubiques. Certaines de ces propriétés sont mentionnées dans la suite de ce chapitre :

1. Le produit de deux nombres cubiques est un nombre cubique.

2. ; est un nombre cubique si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont multiples de .

3. si est un cube parfait et si et sont premiers entre eux, alors et sont aussi des cubes parfaits. Attention, ne pas oublier la seconde condition : par exemple mais et ne sont pas premiers entre eux et ne sont pas des cubes parfaits.

4. vignettePour tout entier naturel non nul, est la somme des entiers impairs les plus proches de . La découverte de cette propriété, illustrée ci-contre par une figure pyramidale extraite des travaux du mathématicien Charles Wheatstone., remonterait à d'Adhémar et Cauchy.

5. La somme des premiers nombres cubiques est égale au carré du -ième nombre triangulaire, et donc également au carré de la somme des premiers entiers :

6. D'après le petit théorème de Fermat, .En base 3, a donc même chiffre des unités que .

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7. Il n'existe pas pour les nombres cubiques d'identité similaire à celle des triplets pythagoriciens pour les nombres carrés. En effet, une preuve élémentaire, amorcée par Euler, montre qu'il n'y a aucune solution non triviale à avec , et entiers naturels (c'est un cas particulier du théorème de Fermat-Wiles). 8. Il n'y a également aucune solution non triviale à avec , et entiers naturels. Mise sous la forme cette impossibilité montre qu'il n'existe pas de triplet de cubes en progression arithmétique non triviale.

9. Il existe une infinité de nombres cubiques qui sont égaux à la somme de trois autres nombres cubiques. L'exemple le plus célèbre est (nombre de Platon) . La formule due à Srinivasa Ramanujan prouve cette affirmation et permet de construire des nombres cubiques possédant cette propriété à partir de couples d'entiers naturels , :

10. Tout entier est somme d'au plus 9 nombres cubiques, le plus petit requérant 9 nombres cubiques est (problème de Waring). La liste des plus petits nombres de nombres cubiques requis dans la décomposition des entiers, tous inférieurs ou égaux à 9, est donnée par la . Depuis 2015, on sait qu'à partir de 455, tout entier est somme d'au plus 7 nombres cubiquesVoir la ..

Nombre cubique et géométrie vignette|Construction du quatrième nombre cubique .

Un nombre cubique est un nombre figuré polyédrique (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un cube.. Par exemple, 8 est un nombre cubique puisqu'il peut être représenté par un cube de . Les nombres cubiques sont donc exactement les cubes parfaits strictement positifs, le n-ième étant .

On obtient à partir de la relation :

où sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre, son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et le nombre k-gonal d'ordre .

On obtient donc .

D'où .

En analyse La somme des inverses des cubes parfaits non nuls est la constante d'Apéry : ; la somme alternée lui est reliée :.

On a aussi le produit infini : .

Cubes parfaits dans le monde réel

Cristallographie vignette|Bloc de roche contenant trois cristaux de pyrite (FeS2). La structure cristalline de la pyrite est cubique à faces centrées.|180x180px Les cubes parfaits sont présents dans la nature, notamment dans la structure cristalline de certains éléments. La maille constitutive de ces éléments est un cube, qui peut être centré ou même à faces centrées, et la structure de l'élément est constituée par l'association de ces mailles élémentaires, pouvant former des cristaux cubiques contenant un très grand nombre d'atomes. Parmi les éléments ainsi constitués, on peut citer:

structure cubique simple : polonium ; structure cubique centrée : fer, chrome, tungstène, etc ; structure cubique à faces centrées : aluminium, cuivre, or, argent, etc.

Objets manufacturés vignette|180x180px|Rubik's Cube 3x3x3 mélangé. Les cubes parfaits pouvant être représentés par des objets physiques, ils sont présents dans une grande variété de réalisations humaines. En particulier, de très nombreux jeux utilisent des dés cubiques, dont les six faces sont généralement numérotées de 1 à 6. Nombreux également sont les jeux destinés à la première enfance utilisant des cubes pouvant s'empiler, s'emboîterPour permettre l'emboitement, une des faces de ces cubes est ôtée. ou être accolés pour créer diverses configurations, y compris pour créer des cubes de plus en plus grands : 2x2x2 avec 8 cubes unitaires, 3x3x3 avec 27 cubes unitaires, etc. Et le célèbre Rubik's Cube, décliné en de multiples variantes depuis sa création en 1974, se présente, dans sa forme originelle, comme un cube parfait de 3x3x3Un Rubik's Cube de 3x3x3 est en fait constitué de 26 et non de 27 petits cubes. L'emplacement du cube central est occupé par le mécanisme permettant au joueur de manipuler les 26 cubes visibles..

Notes et références

Voir aussi

Cube parfait

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