En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, une connexion affine est un objet géométrique défini sur une variété différentielle, qui connecte des espaces tangents voisins, et permet ainsi à des champs de vecteurs tangents d'être dérivés comme si c'étaient des fonctions définies sur la variété et prenant leurs valeurs dans un unique espace vectoriel. La notion de connexion affine prend ses racines dans la géométrie du et dans le calcul tensoriel, mais ne fut pleinement développée qu'au début des années 1920, par Élie Cartan (comme cas particulier de ) et par Hermann Weyl (qui l'utilisa en partie pour fonder sa description de la relativité générale). La terminologie est due à Cartan et trouve son origine dans l'identification des espaces tangents dans l'espace euclidien Rn par des translations : l'idée est qu'un choix de connexion affine fait ressembler (localement) une variété à un espace euclidien, non seulement de façon différentiable en un point, mais en tant qu'espace affine.
Sur toute variété, on peut définir une infinité de connexions affines. Si la variété est munie d'une métrique riemannienne, il existe un choix naturel de connexion affine, appelée la connexion de Levi-Civita. Le choix d'une connexion affine est équivalent à définir une façon de dériver les champs de vecteurs qui satisfait plusieurs propriétés raisonnables (la linéarité, ainsi que la règle de Leibniz). Ceci permet de définir une connexion affine comme une dérivée covariante ou encore comme une connexion (linéaire) sur le fibré tangent. Un choix de connexion affine est aussi équivalent à une notion de transport parallèle, c'est-à-dire à un moyen de transporter les vecteurs le long de courbes de la variété.
Les principaux invariants d'une connexion affine sont sa courbure et sa torsion. La torsion mesure l'erreur commise en remplaçant, dans le crochet de Lie de deux champs de vecteurs, la dérivée de Lie par la connexion affine. Les connexions affines peuvent également servir à définir des géodésiques (affines) sur une variété, généralisant les lignes droites de l'espace euclidien, bien que leur géométrie puisse être très différente de la géométrie usuelle, en raison de la courbure de la connexion.
Motivations et historique
Une variété de classe C∞ (appelée parfois variété « lisse » ) est un objet mathématique ressemblant localement à une déformation lisse de l'espace euclidien Rn ; par exemple, une courbe ou une surface lisse ressemble localement à une droite ou à un plan (courbé). Comme dans l'espace euclidien, on peut définir, sur les variétés, la classe de régularité des fonctions et des champs de vecteurs, et on peut dériver les fonctions scalaires de manière naturelle.
En revanche, si la différentiation des champs de vecteurs se définit de façon naturelle dans un espace euclidien, c'est parce que l'ensemble des vecteurs en un point p (l'espace tangent en p) peut être identifié naturellement (par translation) avec l'espace tangent en un point voisin q. L'opération de différentiation des champs de vecteurs n'a pas un sens immédiat sur une variété générale faute de disposer d'une telle identification entre espaces tangents proches, et de pouvoir comparer des vecteurs tangents en des points différents (même proches) de façon unique. La notion de connexion affine fut introduite pour résoudre ce problème en privilégiant une façon particulière de connecter des espaces tangents voisins. Cette idée provient de deux sources principales : la théorie des surfaces et le calcul tensoriel.
Motivations venant de la théorie des surfaces
Pour une surface régulière S de l'espace euclidien à 3 dimensions, il existe une façon naturelle de relier les vecteurs tangents en des points voisins. Au voisinage de chaque point, S peut être approchée par son plan tangent en ce point, lequel est un sous-espace affine de l'espace euclidien. Au , les géomètres s'intéressaient à la notion de , c'est-à-dire au mouvement d'une surface roulant sur une autre sans pivotement ni glissement. En particulier, le plan tangent en un point de S peut rouler sur S. Au cours de ce mouvement, le point de contact parcourt une courbe de S. Réciproquement, étant donné une courbe de S, on peut faire rouler le plan tangent le long de cette courbe. Ceci permet d'identifier les plans tangents en différents points de la surface. En particulier, un vecteur tangent à la surface, donc appartenant au plan tangent en un point donné de la courbe, s'identifie à un unique vecteur tangent en n'importe quel autre point de la courbe. Ces identifications définissent toujours une transformation affine d'un plan tangent vers un autre.
Cette notion de transport parallèle des vecteurs tangents le long d'une courbe, par des transformations affines, a un aspect caractéristique : le point de contact du plan tangent avec la surface, lorsqu'il suit la courbe, se déplace dans le plan par transport parallèle ; cette condition générique caractérise les . Dans une approche plus moderne, le point de contact est pris comme origine du plan tangent (qui s'identifie alors à un espace vectoriel), autrement dit le mouvement de ce point est corrigé par une translation, ce qui rend le transport parallèle linéaire plutôt qu'affine.
Du point de vue des connexions de Cartan, en revanche, les sous-espaces affines de l'espace euclidien sont des surfaces modèles : ce sont les surfaces les plus simples de l'espace euclidien (à 3 dimensions), homogènes sous l'action du groupe affine du plan ; chaque surface lisse a en chaque point une unique surface modèle tangente. Ces surfaces modèles sont des géométries de Klein, au sens du programme d'Erlangen. Plus généralement, un espace affine de dimension n est une géométrie de Klein pour le groupe affine Aff(n), le stabilisateur d'un point étant le groupe linéaire GL(n). Une variété affine de dimension n est donc une variété qui ressemble, sous un grossissement infini, à un espace affine de dimension n.
Motivations venant du calcul tensoriel
L'autre motivation des connexions affines vient de la notion de dérivée covariante des champs de vecteurs. Avant l'apparition de méthodes de calcul n'utilisant pas les coordonnées, il était nécessaire, pour manipuler des champs de vecteurs, d'utiliser leurs composantes dans des cartes locales. Ces composantes peuvent être dérivées, mais la transformation de ces dérivées dans un changement de coordonnées ne s'exprime pas simplement. Des termes correctifs furent introduits par Elwin Bruno Christoffel (en s'inspirant d'idées de Bernhard Riemann) dans les années 1870, de telle sorte que la dérivée (corrigée) d'un champ de vecteurs le long d'un autre se transforme de façon covariante par changement de coordonnées — ces termes correctifs devaient par la suite être appelés des symboles de Christoffel. Cette idée devait conduire à la théorie du calcul différentiel absolu (devenu le calcul tensoriel) développée par Gregorio Ricci-Curbastro et son élève Tullio Levi-Civita entre 1880 et le début du .
Le calcul tensoriel ne devait cependant prendre son essor qu'avec le développement par Albert Einstein de sa théorie de la relativité générale en 1915. Quelques années plus tard, Levi-Civita formalisa l'unique connexion associée à une métrique riemannienne, connue désormais sous le nom de connexion de Levi-Civita. Des connexions affines plus générales furent étudiées vers 1919 par Hermann Weyl., qui développa les fondements mathématiques détaillés de la relativité générale, et par Élie Cartan., qui fit le lien avec les idées géométriques venues de la théorie des surfaces.
Approches
Cette histoire complexe a conduit au développement d'approches extrêmement variées du concept de connexion affine et de ses généralisations.
La plus populaire est sans doute la définition motivée par les dérivées covariantes. D'une part, les idées de Weyl furent développées par les physiciens sous la forme des théories de jauge et des . D'autre part, Jean-Louis Koszul donna un cadre abstrait à la notion de dérivation covariante, en définissant des connexions (linéaires ou de Koszul) sur des fibrés vectoriels. Dans ce langage, une connexion affine est simplement une dérivée covariante ou une connexion (linéaire) sur le fibré tangent.
Cependant, cette approche n'explique pas l'aspect géométrique des connexions affines, ni d'ailleurs leur nomEn conséquence, de nombreux mathématiciens utilisent l'expression connexion linéaire pour les connexions du fibré tangent, puisque le transport parallèle est linéaire et non affine. Cependant, la même propriété est vraie des connexions sur un fibré vectoriel (qu'il soit de Koszul or d'Ehresmann). Au départ, le terme connexion affine est une abréviation de affine, ce qui suppose que la connexion est définie sur le fibré tangent, plutôt que sur un fibré vectoriel arbitraire. La notion de connexion de Cartan linéaire n'a guère de sens, parce que les représentations linéaires ne sont pas transitives.. Ce dernier a pour véritable origine l'identification par translation d'espaces tangents dans l'espace euclidien usuel : cette propriété signifie que l'espace euclidien à n dimensions est un espace affine (on peut aussi voir l'espace euclidien comme un sous l'action du groupe des translations, lequel est un sous-groupe du groupe affine). Comme on l'a dit dans l'introduction, il y a plusieurs façons de rendre cela précis : on part de ce qu'une connexion affine définit une notion de transport parallèle de champs de vecteurs le long d'une courbe. Cela définit également un transport parallèle sur le fibré des repères. Le transport parallèle infinitésimal dans le fibré des repères donne une autre description de la connexion affine, soit comme connexion de Cartan pour le groupe affine Aff(n), soit comme GL(n)-connexion principale sur le fibré des repères.
Définition rigoureuse comme opérateur différentiel
Soient M une variété différentielle et C∞(M,TM) l'espace des champs de vecteurs sur M, c'est-à-dire l'espace des sections lisses du fibré tangent TM. Une connexion affine sur M est une application bilinéaire ∇ :
telle que pour toutes les fonctions « lisses » (indéfiniment dérivables) f ∈ C∞(M,R) et tous les champs de vecteurs X, Y sur M, on ait : , c'est-à-dire que ∇ est C∞(M,R)-linéaire en la première variable ; , c'est-à-dire que ∇ vérifie la règle de Leibniz pour la seconde variable.
Propriétés élémentaires
Il résulte de la propriété (1) ci-dessus que la valeur de ∇XY en un point x ∈ M dépend seulement de la valeur de X en x et non des valeurs de X sur M − {x}. Il découle aussi de la propriété (2) que la valeur de ∇XY en x ∈ M ne dépend que des valeurs de Y sur un voisinage de x. Si ∇ et ∇ sont des connexions affines, la valeur en x de ∇XY − ∇XY peut s'écrire Γx(Xx,Yx), où Γx: TxM × TxM → TxM est bilinéaire et dépend de x de manière lisse (c'est-à-dire définit un différentiable). Réciproquement, si ∇ est une connexion affine et Γ est un morphisme de fibrés différentiable bilinéaire (on dit que c'est une forme de connexion sur M), alors ∇ + Γ est une connexion affine.
Si M est un ouvert de Rn, le fibré tangent de M est le fibré trivial M × Rn. Dans ce cas, il y a une connexion affine canonique d sur M : tout champ de vecteurs Y est donné par une application V de M vers Rn, et dXY est le champ de vecteurs correspondant à la fonction dV(X)=∂XY de M vers Rn. Toute autre connexion affine ∇ sur M peut par conséquent s'écrire ∇ = d +Γ, où Γ est une forme de connexion sur M. Plus généralement, une trivialisation locale du fibré tangent est un entre la restriction de TM à un ouvert U de M, et U × Rn. La restriction d'une connexion affine ∇ à U peut alors s'écrire sous la forme d + Γ, où Γ est une forme de connexion sur U.
Transport parallèle pour les connexions affines
Définition