En mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne.
Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.), des surfaces apparaissent naturellement en tant que graphes de fonctions de deux variables, ou sous forme paramétrique, comme ensembles décrits par une famille de courbes de l'espace. Les surfaces ont été étudiées à partir de divers points de vue : de façon extrinsèque, en s'intéressant à leur plongement dans l'espace euclidien, et de façon intrinsèque, en ne se préoccupant que des propriétés qui peuvent être déterminées à partir des distances mesurées le long de courbes tracées sur la surface. Un des concepts fondamentaux découverts ainsi est la courbure de Gauss, étudiée en profondeur par Carl Friedrich Gauss (entre 1825 et 1827), qui montra son caractère intrinsèque.
Dans l'esprit du programme d'Erlangen, les groupes de Lie, plus précisément les groupes de symétrie du plan euclidien, de la sphère et du plan hyperbolique, ont joué un rôle important dans l'étude des surfaces. Ces groupes permettent de décrire les surfaces de courbure constante ; ils forment aussi un outil essentiel dans l'approche moderne de la géométrie différentielle intrinsèque à l'aide de connexions. Les propriétés extrinsèques dépendant du plongement d'une surface dans l'espace euclidien ont été également largement étudiées. Les relations entre ces deux approches sont bien illustrées par le cas des équations d'Euler-Lagrange du calcul des variations : bien qu'Euler ait utilisé les équations à une variable pour déterminer les géodésiques, que l'on peut définir de manière intrinsèque, l'une des applications principales que fit Lagrange des équations à deux variables fut l'étude des surfaces minimales, un concept extrinsèque qui n'a de sens que pour les plongements.
Histoire de la théorie des surfaces
Certaines propriétés des surfaces de révolution étaient déjà connues d'Archimède. Le développement du calcul infinitésimal au permit de les analyser de manière plus systématique, obtenant par exemple les théorèmes de Guldin. Des surfaces plus générales furent étudiées par Euler ; en 1760, il obtint une formule donnant la courbure d'une section plane d'une surface quelconque, et en 1771, il s'intéressa aux surfaces représentées sous une forme paramétrique. Monge énonça les principes fondamentaux de cette théorie dans son mémoire classique L'Application de l'analyse à la géométrie, qui parut en 1795.
La contribution véritablement fondatrice de la théorie des surfaces vint de Gauss dans deux articles remarquables écrits en 1825 et 1827. Pour la première fois, Gauss y considérait la géométrie intrinsèque d'une surface, c'est-à-dire les propriétés déterminées seulement par la distance géodésique entre les points, indépendamment du plongement particulier de la surface dans l'espace euclidien ambiantGauss avait exécuté des travaux de cartographie pour le roi George III ; cela pourrait expliquer que ces articles contiennent à titre d'exemple des calculs effectifs de la courbure de la Terre basés uniquement sur des mesures de distances à sa surface.. Le couronnement de ce travail, le theorema egregium, montrait que la courbure de Gauss est un invariant intrinsèque, inchangé par des isométries locales. Ce point de vue fut étendu aux espaces de dimension supérieure par Bernhard Riemann, aboutissant à ce qui est aujourd'hui appelé la géométrie riemannienne.
Le fut l'âge d'or de la théorie des surfaces, que ce soit du point de vue topologique ou différentiel, la plupart des géomètres s'étant alors intéressés à leur étude. Darboux réunit beaucoup de leurs résultats dans son traité en quatre volumes Théorie des surfaces (1887-1896)Ce traité est consultable (mais non numérisé) sur Gallica, ainsi que sur le site de l'université du Michigan : voici le fac-similé d'une de ses pages.. Au tournant du siècle, Poincaré devait faire progresser encore la théorie, en la combinant (entre autres) avec les méthodes de la topologie algébrique.
À partir des années 1920, la théorie des surfaces se voyait dotée d'un cadre conceptuel plus puissant par l'introduction de la notion de connexion, sous l'impulsion de Tullio Levi-Civita, Élie Cartan et Hermann Weyl (motivés en particulier par des idées venues de la physique, et plus précisément de la relativité générale).
Courbure des surfaces de E3
Initialement, Gauss définissait (de manière non rigoureuse) la courbure d'une surface à l'aide de celle de certaines courbes planes lui étant associées. Il découvrit par la suite un ensemble de définitions équivalentes ; l'une de celles-ci utilisait les propriétés de transformation de l'aire par l'application de Gauss, application envoyant la surface sur une sphère (de dimension 2). Cependant, pour pouvoir obtenir une définition plus intrinsèque en termes d'aire et de périmètre de petits triangles, Gauss devait étudier en profondeur les propriétés des géodésiques de la surface, c'est-à-dire des chemins de plus courte longueur entre deux points donnésCela correspond également à la forme que prendrait un ruban élastique tendu sur la surface entre ces deux points., comme on le verra ci-dessous.
La courbure de Gauss en un point d'une surface (lisse) plongée dans l'espace euclidien usuel E3 (identifié à R3 par un système de coordonnées cartésiennes) et donnée localement dans E3 par l'équation z = F(x,y) est définie comme le produit des courbures principales en ce point ; la courbure moyenne est définie comme étant leur demi-somme. Les courbures principales sont les courbures maximum et minimum des courbes (planes) obtenues en coupant la surface par des plans perpendiculaires au plan tangent au point étudié. Si ce point est choisi comme origine du repère, (0, 0, 0), et que le plan tangent est donné par z = 0, alors, après une rotation convenable autour de l'axe des z annulant le terme en xy, F admet le développement en série de Taylor
Dans ce cas, les courbures principales sont k1 et k2, la courbure de Gauss est donnée par , et la courbure moyenne par .
Comme K et Km sont invariants par les isométries de E3, on obtient finalement dans le cas général
et , où les dérivées partielles sont prises au point étudié.
Pour une surface orientée, l’application de Gauss envoie chaque point de la surface vers le vecteur normal unitaire au plan tangent en ce point (dirigé vers l'extérieur), ce vecteur étant identifié à un point de la sphère unité. Cette application envoie donc le point de coordonnées vers ; un calcul direct montre alors que la courbure de Gauss est la jacobienne de l'application de Gauss.
Exemples Surfaces de révolution
Une surface de révolution peut par exemple être obtenue en faisant tourner une courbe du plan autour de l'axe des , en supposant que la courbe ne coupe pas cet axe. En supposant que la courbe soit donnée par (avec variant de à ), et que le point paramétré par se déplace sur la courbe à vitesse unité ( est donc la longueur de l'arc), c'est-à-dire que , la surface de révolution est alors l'ensemble de points
La courbure de Gauss et la courbure moyenne sont alors données par :
Les géodésiques d'une surface de révolution obéissent à la relation de Clairaut : , où est la distance à l’axe et est cette l'angle entre le vecteur tangent à la géodésique et le cercle de rayon .
Quadriques
Soit la quadrique définie par
Cette surface peut être paramétrée par
où u et v sont deux réels (rendant les radicandes positifs)
La courbure de Gauss et la courbure moyenne sont alors données par
Surfaces réglées
Une surface réglée est une surface qui peut être engendrée par le déplacement d'une ligne droite dans E3... Choisissant une directrice sur la surface, c'est-à-dire une courbe différentiable c(t), parcourue à vitesse unité, et orthogonale aux droites, et choisissant ensuite des vecteurs unitaires u(t) directeurs en chaque point c(t) de la droite passant par ce point, le vecteur vitesse v(t) =ct vérifie
La surface est formée des points avec s et t quelconques.
Alors, en posant (où, comme pour v, ut désigne la dérivée par rapport à t), la courbure de Gauss et la courbure moyenne sont données par
La courbure de Gauss s'annule si et seulement si les deux vecteurs ut et v sont colinéaires. Cette condition est équivalente à ce que la surface soit l'enveloppe de la famille des plans définis par les points de la courbe, le vecteur tangent v et le vecteur orthogonal u, c'est-à-dire à ce que la surface soit développable le long de la courbe. Plus généralement, une surface de E3 est de courbure de Gauss nulle au voisinage d'un point si et seulement si elle est développable près de ce point (une condition équivalente utilisant la métrique sera donnée plus bas).
Surfaces minimales
En 1760, Lagrange généralisa au cas de deux variables les résultats d'Euler concernant le calcul des variations pour les intégrales à une variable... Il cherchait à résoudre le problème suivant : Une telle surface s'appelle une surface minimale.
En 1776, Meusnier montra que l'équation différentielle obtenue par Lagrange était équivalente à une condition sur la courbure moyenne :
Les surfaces minimales ont une interprétation physique concrète : elles ont la forme que prend un film de savon s'appuyant sur un fil métallique. Cela permet d'obtenir expérimentalement des solutions dans les cas simples, méthode employée par le physicien belge Joseph Plateau au milieu du ; la question de savoir si, pour un contour donné, il existe toujours une surface minimale, fut appelée le problème de Plateau, et fut résolue (par l'affirmative) en 1930 par Jesse Douglas et Tibor Radó ; Douglas reçut pour ce travail une des premières médailles Fields en 1936La solution de Douglas est décrite dans ..
On connait de nombreux exemples explicites de surfaces minimales, telles que la caténoïde, l'hélicoïde, les surfaces de Scherk et la surface d'Enneper. C'est un domaine de recherche étendu, dont on trouvera une synthèse dans . En particulier, un résultat d'Osserman montre que pour toute surface minimale non plane, son image par l'application de Gauss est dense dans S2.
Surfaces de courbure constante
Une surface de courbure constante est une surface ayant la même courbure de Gauss en chaque point.... La sphère unité de E3 est de courbure constante +1. Le plan euclidien et le cylindre sont de courbure constante nulle. Les cônes, et plus généralement, toutes les surfaces développables, fournissent d'autres exemples de surfaces de courbure nulle.