En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie d'un espace normé réel est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue sur associe la borne supérieure de dans .
Définition La fonction d'appui d'une partie d'un espace normé est la fonction notée et définie par
où est le dual topologique de et est la valeur de la forme linéaire continue en .
En particulier, ()..
Exemples La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.
La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie de est la fonction d'appui de . La fonction d'appui de la boule unité de est la norme canonique du dual . Si est un espace euclidien et si est une fonction convexe propre définie sur à valeurs dans , sa dérivée directionnelle en un point dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de en (voir « Formule du max »).
Propriétés La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire. Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement. Toute partie a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée . Plus précisément :. A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :.
Règles de calcul Somme pondérée d'ensembles Pour toutes parties de et tous réels positifs , .
Transformation par une application linéaire Soient un autre espace normé, une fonction linéaire continue, son adjointe et une partie de . Alors s'écrit.
Référence
Bibliographie
Catégorie:Analyse convexe Appui