thumb|upright=1.5|alt=Représentation du 120-cellules rectifié selon son diagramme de Schlegel|Diagramme de Schlegel du 120-cellules rectifié. Un 4-polytope uniforme est, en géométrie, un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes. Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.

4-polytopes uniformes convexes

Dénombrement Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques, il existe 64 4-polytopes uniformes convexes : 4-polytopes non-prismatiques : 9 de groupe de Coxeter A4 ; 9 de groupe de Coxeter F4 ; 15 de groupe de Coxeter B4 (dont 3 sont également compris dans la famille précédente) ; 15 de groupe de Coxeter H4 ; 1 forme adoucie spéciale dans le groupe F4 ; 1 4-polytope spécial, le grand antiprisme ; Prismes polyédriques : 5 prismes basés sur les solides de Platon (dont le tesseract, déjà compris dans la famille B4) ; 13 prismes basés sur les solides d'Archimède.

Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis : l'ensemble des hyperprismes antiprismatiques uniformes, prismes polyédriques de deux antiprismes ; l'ensemble des duoprismes uniformes.

A4 Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est A4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets 5-cellules {3,3,3} 5 10 10 5 5-cellules rectifié t1{3,3,3} 10 30 30 10 5-cellules tronqué t0,1{3,3,3} 10 30 40 20 5-cellules biseauté t0,2{3,3,3} 20 80 90 30 5-cellules augmenté t0,3{3,3,3} 30 70 60 20 5-cellules bitronqué t1,2{3,3,3} 10 40 60 30 5-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,3} 20 80 120 60 5-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,3} 30 120 150 60 5-cellules omnitronqué t0,1,2,3{3,3,3} 30 150 240 120

BC4

Caractéristiques Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est BC4 sont au nombre de 15.

8-cellules Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets 8-cellules {4,3,3} 8 24 32 16 8-cellules rectifié t1{4,3,3} 24 88 96 32 8-cellules tronqué t0,1{4,3,3} 24 88 128 64 8-cellules biseauté t0,2{4,3,3} 56 248 288 96 8-cellules augmenté(16-cellules augmenté) t0,3{4,3,3} 80 208 192 64 8-cellules bitronqué(16-cellules bitronqué) t1,2{4,3,3} 24 120 192 96 8-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{4,3,3} 56 248 384 192 8-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{4,3,3} 80 368 480 192 8-cellules omnitronqué(16-cellules omnitronqué) t0,1,2,3{4,3,3} 80 464 768 384

16-cellules Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets 16-cellules {3,3,4} 16 32 24 8 16-cellules rectifié(24-cellules) t1{3,3,4} 24 96 96 24 16-cellules tronqué t0,1{3,3,4} 24 96 120 48 16-cellules biseauté(24-cellules rectifié) t0,2{3,3,4} 48 240 288 96 16-cellules augmenté(8-cellules augmenté) t0,3{3,3,4} 80 208 192 64 16-cellules bitronqué(8-cellules bitronqué) t1,2{3,3,4} 24 120 192 96 16-cellules biseauté-tronqué(24-cellules tronqué) t0,1,2{3,3,4} 48 240 384 192 16-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,4} 80 368 480 192 16-cellules omnitronqué(8-cellules omnitronqué) t0,1,2,3{3,3,4} 80 464 768 384

F4 Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est F4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets 24-cellules(16-cellules rectifié) {3,4,3} 24 96 96 24 24-cellules rectifié(16-cellules biseauté) t1{3,4,3} 48 240 288 96 24-cellules tronqué(16-cellules biseauté-tronqué) t0,1{3,4,3} 48 240 384 192 24-cellules biseauté t0,2{3,4,3} 144 720 864 288 24-cellules augmenté t0,3{3,4,3} 240 672 576 144 24-cellules bitronqué t1,2{3,4,3} 48 336 576 288 24-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,4,3} 144 720 576 24-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,4,3} 240 576 24-cellules omnitronqué t0,1,2,3{3,4,3} 240 24-cellules biseauté-tronqué alterné(24-cellules adouci) h0,1,2{3,4,3} 144 480 432 96

H4

Caractéristiques

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est H4 sont au nombre de 15.

120-cellules Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets 120-cellules {5,3,3} 120 720 600 120-cellules rectifié t1{5,3,3} 720 120-cellules tronqué t0,1{5,3,3} 720 120-cellules biseauté t0,2{5,3,3} 120-cellules augmenté(600-cellules augmenté) t0,3{5,3,3} 120-cellules bitronqué(600-cellules bitronqué) t1,2{5,3,3} 720 120-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{5,3,3} 120-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{5,3,3} 120-cellules omnitronqué(600-cellules omnitronqué) t0,1,2,3{5,3,3}

600-cellules Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets 600-cellules {3,3,5} 600 720 120 600-cellules rectifié t1{3,3,5} 720 720 600-cellules tronqué t0,1{3,3,5} 720 600-cellules biseauté t0,2{3,3,5} 600-cellules augmenté(120-cellules augmenté) t0,3{3,3,5} 600-cellules bitronqué(120-cellules bitronqué) t1,2{3,3,5} 720 600-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,5} 600-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,5} 600-cellules omnitronqué(120-cellules omnitronqué) t0,1,2,3{3,3,5}

D4 Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract. Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets Demitesseract(16-cellules) {3,3,5} 16 32 24 8 Demitesseract rectifié(16-cellules tronqué) t1{3,3,5} 48 240 288 96 Demitesseract tronqué(8-cellules rectifié) t0,1{3,3,5} 24 96 120 48 Demitesseract biseauté(8-cellules bitronqué) t0,2{3,3,5} 24 88 96 32 Demitesseract biseauté-tronqué(24-cellules) t0,1,2{3,3,5} 24 96 96 24 Demitesseract augmenté-biseauté(16-cellules biseauté) t0,2,3{3,3,5} 24 120 192 96 Demitesseract omnitronqué(16-cellules biseauté-tronqué) t0,1,2,3{3,3,5} 48 240 384 192 Demitesseract adouci(24-cellules adouci) s{3,3,5} 144 480 432 96

Grand antiprisme Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets Grand antiprisme aucun aucun 320 720 500 100

Prismes

Annexes Liens externes

Uniform, convex polytopes in four dimensions (M. Möller, polytope.de) Uniform Polytopes in Four Dimensions (G. Olshevsky) Uniform polychora (J. Bowers) Stella4D Polychora (R. Klitzing)

Références

Catégorie:Polychore