En arithmétique, la fonction somme des diviseurs est la fonction arithmétique qui, à un entier naturel non nul, associe la somme de ses diviseurs positifs, souvent notée : . .
Ainsi (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, (p) = p + 1 pour tout nombre premier et (1) = 1.
Cette fonction intervient dans l'étude des nombres parfaits, amiables, déficients ou abondants, des nombres intouchables ou sublimes, ou dans les suites aliquotes. Elle est aussi étudiée dans le cadre de l'hypothèse de Riemann.
C'est un exemple de fonction multiplicative.
On étudie aussi parfois la somme s() = () – des diviseurs strictsPar exemple, n est premier si et seulement si s(n) = 1. Il est dit parfait si s(n) = n. d'un entier , c'est-à-dire de tous les diviseurs positifs de strictement inférieurs à .
Propriétés
Comme toutes les fonctions somme des puissances k-ième des diviseurs , la fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers et premiers entre eux, (mn) = (m)(n). La somme des termes d'une suite géométrique permet de calculer la somme des diviseurs d'une puissance d'un nombre premier :(La fonction n'est donc pas complètement multiplicative.) L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer la somme des diviseurs de connaissant sa décomposition en facteurs premiers : Au sens de la convolution de Dirichlet, on peut écrire . σ possède alors un inverse , qu'on peut calculer explicitement : est nul dès que admet un facteur cubique, et sinon en écrivant où les et les sont des nombres premiers deux à deux distincts, on a . On a l'identité : où désigne la fonction partie entière. :
Loi d'Euler Leonhard Euler énonce en 1752 Leonhard Euler, Commentationes arithmeticae collectae, vol. I, Observatio de summis divisorum, . un résultat, qu'il appelle , permettant de déterminer la somme des diviseurs de n à l'aide d'une formule de récurrence :
où 1, 2, 5, 7, 12... est la suite des nombres pentagonaux généralisés ().
avec
Par exemple, .
Cette relation de récurrence est identique à celle vérifiée par la fonction qui donne le nombre de partitions d'un entier, au détail près qu'on remplace la valeur par la valeur .
Euler démontre cette loi en 1754 Leonhard Euler, Commentationes arithmeticae collectae, vol. I, Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum, . à l'aide de l'écriture en série d'un produit infini :
Comportement asymptotique vignette|337x337px|En rouge, représentation de ; en bleu, de et ; et en vert, de .
Moyenne de Cesàro En moyenne de Cesàro, on a . Ici et plus bas, O, o et , sont les symboles de Landau.
Ceci vient de la formule , dont on déduit : où
(cf. Problème de Bâle) et (cf. Série harmonique). gauche|vignette|En rouge, représentation de ; en bleu, de ; en vert, le minorant correspondant aux nombres premiers ; et en cyan le majorant de Lagarias .
Ordre moyen Un ordre moyen simple pour (n) est , puisqu'on a l'estimation
où le terme E(x) est un o(x2).
Une bonne estimation de ce terme E(x) fournit une évaluation fine de la précision obtenue si l'on attribue à (n) l'ordre moyen nπ2/6. Les meilleures majoration et minoration connues de cette précision sont données respectivement par.
et parY.-F.S. Pétermann. An Ω-theorem for an error term related to the sum-of-divisors function. Mh. Math. 103, 145-157 (1987); addendum ibid. 105, 193-194 (1988).
Somme des diviseurs et hypothèse de Riemann La fonction somme des diviseurs a été étudiée dans le contexte de l'hypothèse de Riemann.
T. H. Gronwall a démontré en 1913. que
où est la constante d'Euler-Mascheroni.
Le critère de Robin (du mathématicien français Guy Robin, en 1984.) stipule que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si
pour tout ≥ .
Cette inégalité a déjà été établie pour 70,26 % des entiers naturels.. (Les auteurs montrent que les entiers quadratfrei, de densité , ainsi que les impairs, de densité 1/2, satisfont l'inégalité. Les impairs non quadratfrei étant de densité , les entiers satisfaisant l'inégalité sont de densité au moins .)
En 2001, Jeffrey Lagarias, en utilisant le critère de Robin, lie la somme des diviseurs au n-ième nombre harmonique H et prouve Jeffrey C. Lagarias, « », Amer. Math. Monthly 109 (2002), no. 6, 534-543. En ligne sur . que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si pour tout entier n,
Autres expressions La somme des diviseurs peut être exprimée sous forme de somme trigonométrique : .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Ordre moyen d'une fonction arithmétique Théorème des nombres pentagonaux
Bibliographie
Catégorie:Divisibilité et factorisation Catégorie:Fonction arithmétique Catégorie:Théorie analytique des nombres