En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, portant le nom du mathématicien indien du Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :
où est le demi-périmètre du quadrilatère, , , et sont les longueurs de ses côtés et son aire .
Elle représente un cas particulier de la formule de Bretschneider donnant l'aire d'un quadrilatère non forcément inscriptible, concave ou convexe mais non croisé.
Démonstration cadre|droite|Figure illustrative.
En suivant les notations de la figure, l'aire du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles et :
mais comme est inscriptible, les angles en et sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite :
d'où en élevant au carré :
En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles et et en égalant les expressions du côté commun , on obtient :
ce qui s'écrit puisque les angles en et sont supplémentaires :
En reportant dans la formule précédente, on obtient :
En introduisant , on obtient :
d'où
Longueurs des diagonales Les relations ci-dessus donnent ; les longueurs des diagonales sont donc :
; formules qui étaient connues de Brahmagupta.
Cas particuliers Le carré correspond au cas et Le rectangle correspond au cas et Le triangle correspond au cas : on retrouve alors la formule de Héron.
Aire d'un quadrilatère inscriptible croisé Dans le cas d'un quadrilatère inscriptible croisé, l'aire algébrique , différence des aires des triangles et , est donnée au signe près par : , qui conduit de la même façon que ci-dessus à : ,
ce qui revient à changer l'une des 4 lettres en son opposé dans la formule de Brahmagupta. On a aussi : .
On retrouve par exemple que l'aire est nulle pour un antiparallélogramme ().
Généralisation à l'aire d'un polygone inscriptible En utilisant les fonctions symétriques élémentaires de , la formule de Brahmagupta pour un quadrilatère inscriptible convexe s'écrit , et pour un quadrilatère inscriptible croisé, , d'où la relation valable pour un quadrilatère inscriptible quelconque : .
David Robbins a démontré que plus généralement, l'aire d'un polygone inscriptible de côtés de longueurs vérifie une relation du type où est un polynôme à coefficients entiers symétrique en ses dernières variables.
Dans le cas , cette relation a permis de déterminer les propriétés des pentagones de Robbins, pentagones à longueurs de côtés et aire rationnelles.
Notes et références
Voir aussi
Formule de Bretschneider
Théorème de Brahmagupta (autre propriété du quadrilatère inscriptible) Identité de Brahmagupta (en arithmétique)
Lien externe
Brahmagupta (formule) Catégorie:Quadrilatère Catégorie:Cercle Catégorie:Aire