En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.
Définition
Soit une fonction à plusieurs variables et , , fonctions de . Si elle existe, la dérivée totale... par rapport à de la fonction composée s'exprime à partir de l'expression de la différentielle par :
.
Elle est notée et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée .
Dérivée particulaire
Dans le cas où la fonction dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :
, ,
où est l'opérateur advection.
En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée , la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire., de dérivée convective, de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.
Références
Articles connexes Dérivée partielle Dérivée directionnelle
Catégorie:Analyse à plusieurs variables Catégorie:Application différentiable