vignette|300x300px|Le triangle podaire et les trois cercles de Miquel associés. En géométrie euclidienne plane, le triangle podaire d'un point relativement à un triangle donné est le triangle obtenu en projetant ce point sur les côtés du triangle.
Définition Étant donné un triangle non aplati et un point de son plan, soient les points d'intersection des perpendiculaires issues de aux trois droites supportant les côtés du triangle. Le triangle podaire du point relativement au triangle est le triangle .
Cas particuliers Si est l' orthocentre, est le triangle orthique. Si est le centre du cercle inscrit, est le triangle de contact . Si est le centre du cercle circonscrit, est le triangle médian et c'est le seul cas où le triangle podaire est semblable au triangle de référence. Si se trouve sur le cercle circonscrit du triangle, sont alignés sur la droite podaire ou droite de Simson du point .
droite|vignette|Cas particulier : est sur le cercle circonscrit .
Propriétés Les quadrilatères sont inscriptibles. Le point est donc le point de Miquel associé au triangle et aux points , les trois cercles, les cercles de Miquel, et le triangle podaire, l'un des triangles de Miquel associé au point .
Les sommets du triangle podaire d'un point intérieur divisent les côtés du triangle d'origine en satisfaisant au théorème de Carnot :
Coordonnées trilinéaires des sommets Si a pour coordonnées trilinéaires , celles des sommets du triangle podaire de sont données par :
Longueurs des côtés du triangle podaire Les longueurs des côtés du triangle podaire d'un point intérieur au triangle vérifient les relations :Pour , on peut utiliser que est une corde du cercle passant par (voir à longueur d'une corde).
Mais d'après la loi des cosinus dans les 3 triangles de sommet , on a également : En éliminant entre ces relations, on obtient les distances aux sommets du point en fonction des distances aux côtés .
Triangle antipodaire Un sommet, , du triangle antipodaire de est le point d'intersection de la perpendiculaire à passant par et de la perpendiculaire à passant par . Ses autres sommets, et , sont construits de manière analogue. Les coordonnées trilinéaires sont données par
Par exemple, le triangle excentral est le triangle antipodaire du cercle inscrit.
Si ne se situe sur aucun des côtés prolongés , soit le conjugué isogonal de . Le triangle podaire de est homothétique du triangle antipodaire de . Le centre homothétique (qui est un centre du triangle si et seulement si est un centre du triangle) est le point donné en coordonnées trilinéaires par
Le produit des aires du triangle podaire de et du triangle antipodaire de est égal au carré de l'aire de .
Cercle podaire
vignette|336x336px|Le cercle podaire du point et celui de son conjugué isogonal sont égaux. Le cercle podaire est le cercle circonscrit au triangle podaire. Il est à noter que le cercle podaire est non défini pour les points situés sur le cercle circonscrit au triangle.
Cercle podaire des conjugués isogonaux Pour tout point ne se trouvant pas sur le cercle circonscrit au triangle, et son conjugué isogonal ont même cercle podaire ; son centre est le milieu de ces deux points.
Références
Liens externes
Mathworld : Pedal Triangle Droite de Simson Triangle podaire et conjugaison isogonale Triangle et cercle podaire - illustration interactive Théorème de perpendicularité de Carnot (ou de Bottema) et quelques généralisations - croquis interactif et dynamique
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