Na matemática, o Teorema Integral de Cauchy (tamén coñecido como Teorema de Cauchy-Goursat) en análise complexa, nomeado logo de Augustin-Louis Cauchy, é unha igualdade notable acerca das integrais dun camiño para funcións holomorfas no plano complexo. De xeito sinxelo, a igualdade di que se dúas funcións son holomorfas en todo punto dos seus camiños de integración, e se estes camiños conectan dous puntos comúns, entón o resultado das integrais das funcións é o mesmo indo por calquera dos dous camiños.
Formulación O teorema é polo común formulado para camiños pechados: Sexa un subconxunto aberto e simplemente conexo do plano complexo . Sexa unha función holomorfa e sexa un camiño rectificable no subconxunto no que o punto inicial e final son coincidentes. Entón:
A condición de camiño rectificábel pódese expresar como, sexa unha curva pechada suave e é homotópico a unha curva constante.
Tamén se poden expresar as condicións do seguinte xeito: Sexa un conxunto aberto simplemente conexo, e sexa unha función holomorfa e sexa unha curva pechada suave.
Teorema fundamental para integrais de liña no plano complexo Se é unha función holomorfa nunha rexión aberta e é unha curva en de a , entón,
A maiores, cando ten unha antiderivada dun só valor nunha rexión aberta , entón a integral de camiño é independente do camiño para tódolos camiños en .
Unha consecuencia importante do teorema é que as integrais de camiño das funcións holomorfas en dominios simplemente conexos poden calcularse dun xeito igual ao do teorema fundamental do cálculo. Se temos na curva un punto inicial e outro final , sería a fórmula coñecida de integral definida consistente en calcular a antiderivada e restar os valores no punto inicial e no final:
Caso no que non aplica Como demostrou Édouard Goursat, o teorema integral de Cauchy pódese probar asumindo só que a derivada complexa existe en todas as partes en . Isto é significativo porque entón pódese probar a fórmula integral de Cauchy para estas funcións, e a partir diso deducir que estas funcións son infinitamente diferenciábeis ou suaves.
A condición de que sexa simplemente conexo significa que non ten "buratos". A condición é crucial; consideremos
que traza o círculo unidade, e agora a integral de liña
é distinto de cero; o teorema integral de Cauchy non aplica aquí xa que non está definida (e certamente non é holomorfa) en .
O teorema integral de Cauchy é válido cunha hipótese máis feble que a dada anteriormente, por exemplo, dado '', un subconxunto aberto simplemente conexo de , podemos debilitar as suposicións de que é holomorfa en e continua en para que sexa un bucle sinxelo rectificábel en .
O teorema integral de Cauchy conduce á fórmula integral de Cauchy e ao teorema dos residuos.
Proba Se se asume que as derivadas parciais dunha función holomorfa son continuas, o teorema integral de Cauchy pódese probar como consecuencia directa do teorema de Green e do feito de que as partes real e imaxinaria de debe satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann na rexión limitada por , e a maiores na veciñanza aberta desta rexión. Cauchy proporcionou esta proba, pero máis tarde foi probada por Goursat sen requirir técnicas de cálculo vectorial ou a continuidade das derivadas parciais.
Podemos dividir o integrando así como o diferencial nas súas compoñentes reais e imaxinarias:
. .
Neste caso temos .
Polo teorema de Green, podemos entón substituír as integrais arredor do contorno pechado cunha área integral en todo o dominio que está choída por do seguinte xeito:
. .
Mais como as partes real e imaxinaria dunha función holomorfa no dominio e deben satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann logo: . .
Polo tanto, atopamos que ambos os integrandos (e, polo tanto, as súas integrais) son cero
. .
Isto dá o resultado desexado .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Teorema de Morera Métodos de integración de contorno Ligazóns externas
Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.
Categoría:Análise matemática Integral de Cauchy