A distribución t (de Student) é unha distribución de probabilidade que xorde do problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída cando o tamaño da mostra é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a proba t de Student para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do intervalo de confianza para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o desvío estándar dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

Caracterización A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

onde

Z é unha variable aleatoria distribuída segundo unha normal típica (de media nula e varianza 1). V é unha variable aleatoria que segue unha distribución χ² con graos de liberdade. Z e V son independentes

Se μ é unha constante non nula, o cociente é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade .

Aparición e especificacións da distribución t de Student Supóñase que X1,..., Xn son variables aleatorias independentes distribuídas normalmente, con media μ e varianza σ2

Sexa

a media da mostra. Entón

segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, Gosset estudou un cociente relacionado,

é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de T é

onde é igual a n − 1.

A distribución de T chámase agora a distribución-t de Student.

O parámetro representa o número de graos de liberdade. A distribución depende de , pero non de ou , o que é moi importante na práctica.

Intervalos de confianza derivados da distribución t de Student O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na t de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media: , sendo entón o intervalo de confianza para a media: .

Este resultado é o que se emprega no test de Student: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución t pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

e para e para e para e para

Historia A distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, Guinness, que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o pseudónimo de Student (“estudante”).

Distribución t de Student non estandarizada A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional e outro de escala . O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:

Equivalentemente, pode escribirse en termos de (correspondente á varianza en vez de ao desvío estándar):

Outras propiedades desta versión da distribución t son:

Notas

Véxase tamén Ligazóns externas Tabla de distribución de t de Student Prueba t de Student na UPTC de Colombia Distribución t-Student: Puntos porcentuais para probabilidade superior Cálculo da probabilidade dunha distribución t de Student con R (linguaxe de programación)

Categoría:Distribucións continuas