120px|miniatura|∠, o símbolo do ángulo en Unicode é U+2220. En xeometría plana, un ángulo é a rexión do plano comprendida entre dúas semirrectas con orixe común. As semirrectas son os lados do ángulo, e a orixe común é o vértice do ángulo.
Na xeometría do espazo considéranse dous tipos de ángulos: O ángulo diedro, que é a rexión do espazo delimitada por dous semiplanos, chamados caras, que parten dunha recta común chamada aresta. O ángulo sólido, que é a rexión do espazo que subtende un feixe de raios que parten dunha orixe común que é o vértice do ángulo. Tipos particulares de ángulos sólidos son: O ángulo sólido cónico, no que a rexión que o forma está delimitada por unha superficie cónica. O ángulo poliedro, que é a rexión do espazo delimitada por tres ou máis ángulos planos, chamados caras cun vértice común, que é o vértice do ángulo poliedro; e que están dispostos de tal xeito que cada cara comparte os lados que a delimitan con outras dúas caras, e ningunha máis. Ditos lados son as arestas do ángulo poliedro. O ángulo poliedro de tres caras chámase ángulo triedro.
Nas xeometrías non euclidianas defínese o ángulo dun xeito semellante, por exemplo, na xeometría esférica, un ángulo é a rexión esférica comprendida entre dous semicírculos máximos.
Definicións clásicas e etimoloxía Segundo Proclo, un ángulo debe ser ou unha cualidade, ou unha cantidade, ou unha relación. O primeiro concepto foi utilizado por Eudemo de Rodas, que describiu un ángulo como a desviación respecto dunha liña recta; o segundo por Carpo de Antioquía, que o viu como o intervalo ou o espazo entre as liñas que se intersecaban; Euclides adoptou o terceiro concepto, se ben as súas definicións de ángulos rectos, agudos e obtusos son certamente cuantitativas. Euclides define un ángulo plano como a inclinación recíproca de dúas liñas que se encontran unha á outra e non están en liña recta.
A palabra ángulo provén da raíz indoeuropea ank ("pregar", "curvar"), da que derivan o vocábulo grego ἀγκύλος, ankýlos ("pregado", "curvado"), e o latino angulus ("esquina").
Un problema clásico: a trisección do ángulo
A trisección do ángulo, xunto coa cuadratura do círculo e a duplicación do cubo, é un dos tres problemas clásicos da matemática grega, que consiste en dividir un ángulo dado noutros tres iguais usando só regra sen graduar e compás. A súa imposibilidade foi demostrada en 1836 por Pierre Wantzel .
Medida de ángulos miniatura|A medida en radiáns do ángulo θ é o cociente de s entre r. miniatura|Un ángulo diedro e o ángulo plano que dá a súa medida. A medida dun ángulo reflicte a súa amplitude, é dicir, o maior ou menor afastamento entre os lados que o delimitan; canto maior sexa esta amplitude, maior será a medida do ángulo. Esta medida caracterízase usualmente pola magnitude da rotación máis pequena que aplica un dos lados no outro. Os ángulos coa mesma medida chámanse congruentes.
Adoitase usar indistintamente a palabra ángulo para referirse tanto ao ángulo como á súa medida, así é habitual falar, por exemplo, dun ángulo de 43º no canto da expresión máis precisa de ángulo que mide 43º.
Para medir un ángulo trázase unha circunferencia de raio arbitrario con centro no vértice do ángulo; a medida do ángulo, θ, é proporcional á razón entre a lonxitude do arco circular que abrangue o ángulo, s, e o raio da circunferencia, r, é dicir:
onde k é unha constante que depende da unidade de medida empregada. O valor de θ é independente do raio elixido: ao cambiar a lonxitude do raio, a lonxitude do arco cambia na mesma proporción, co cal o cociente s/r non varía.
No espazo, a medida dun ángulo diedro é igual á medida do ángulo bidimensional que ten por lados dúas rectas perpendiculares nun mesmo punto á aresta do diedro e contidas cadansúa nas caras do diedro. Unidades miniatura|Ángulo que mide 1 radián. miniatura|Unha rosa dos ventos cos 32 rumbos. miniatura|Pendente da costa = 100.Δh/d = 100.tan(α) miniatura|Ángulo sólido que mide un estereorradián. Moitas unidades de medida angular defínense como unha parte dun arco completo de circunferencia, de tal xeito que este é igual a n unidades angulares, para algún número enteiro n. O radián e a parte diametral son as dúas excepcións. Por exemplo, no caso dos graos sesaxesimais Unha volta de n unidades obtense tomando na fórmula anterior (Demostración: A fórmula anterior pode ser reescrita como . Unha volta, para a cal unidades, corresponde a un arco igual á lonxitude da circunferencia, que é 2πr, polo tanto . Substituíndo n por θ e 2πr por s na fórmula, resulta )
As unidades de medida de ángulos máis usadas son, de lonxe, os radiáns e os graos sesaxesimais. A continuación enúmeranse algunhas: O radián é a medida dun ángulo que abrangue un arco de circunferencia igual ao raio. A medida dun ángulo en radiáns será, polo tanto, igual ao cociente entre o arco que abrangue e o raio; é dicir, o valor da constante na fórmula anterior é a unidade: k=1. A circunferencia completa mide 2π radiáns. A notación abreviada desta unidade é rad, aínda que se omite frecuentemente nos textos de matemáticas, onde o radián é a unidade asumida por defecto. Os ángulos considéranse adimensionais cando se usan radiáns. Ademais do seu uso na xeometría, o radián úsase virtualmente en todo traballo matemático, por exemplo, as funcións trigonométricas só admiten o radián como medida. O radián é a unidade de medida angular do Sistema Internacional de Unidades. Un grao (sesaxesimal) é a medida do ángulo que abarca un arco que mide 1/360 da lonxitude total da circunferencia. A circunferencia completa mide, polo tanto, 360 graos. Na fórmula anterior é k=180/π. Unha vantaxe desta vella medida é que moitos ángulos frecuentes na xeometría elemental exprésanse como un número enteiro de graos, por exemplo os coñecidos ángulos de 30, 45 e 60 graos. O grao divídese en 60 minutos, e este en 60 segundos. As notacións abreviadas son un pequeno círculo como superíndice (º) para os graos, unha coma simple de superíndice (´) para os minutos, e unha coma dobre de superíndice (´´) para os segundos. A expresión habitual dunha medida en graos é mediante a notación decimal normal (por exemplo 3,5° para tres graos e medio), mais as subunidades dos minutos e os segundos tamén se usan para expresar un ángulo da forma "graos-minutos-segundos", especialmente nas coordenadas xeográficas, en astronomía e en balística. Un grao centesimal ou gradian é a medida do ángulo que abarca un arco que mide a cuadricentésima parte da lonxitude total da circunferencia. En consecuencia, a circunferencia completa son 400 graos centesimais. O valor da constante na fórmula anterior é k=200/π. A abreviatura usada é grad. O quilómetro definiuse historicamente como a lonxitude do arco dun círculo máximo da Terra que abarca un centigradián, polo que o quilómetro é o análogo decimal da milla náutica sesaxesimal. O gradián úsase maoiritariamente en triangulación. O rumbo, usado na navegación, é 1/32 dunha volta. Vén sendo a oitava parte dun ángulo recto. Cada rumbo subdivídese en catro cuartos de rumbo, polo tanto unha volta completa ten 128 cuartos de rumbo. O ángulo horario astronómico é 1/24 dunha volta. Xa que este sistema se usa para medir o movemento de obxectos que xiran unha vez ao día (como a posición relativa das estrelas), as súas subunidades sesaxesimais chámanse minuto de tempo e segundo de tempo. Obsérvese que son distintos dos minutos e segundos de arco, de feito son 15 veces máis grandes. A pendente dunha costa exprésase en tanto por cento. É igual á tanxente do ángulo que forma a horizontal coa traxectoria da pendente multiplicada por cen. Así unha pendente do 4% corresponde a unha costa na que se ascenden 4 metros por cada 100 metros de desprazamento en horizontal. Para valores menores do 5%, a pendente da costa é aproximadamente igual á medida do ángulo en radiáns multiplicada por 100; no exemplo anterior, a pendente do 4% corresponde a un ángulo cuxa tanxente é 0,04, é dicir 2,29º ou 0,03998 rad; o valor do ángulo en radiáns multiplicado por 100 dá 3,998%, practicamente igual ao valor do 4% da pendente. O grao binario, tamén coñecido por radián binario (ou brad), é 1/256 dunha volta. O grao binario úsase en informática pois esta unidade permite representar eficientemente un ángulo nun byte (aínda que cunha precisión limitada). Outras medidas de ángulos que se usan en informática deben basearse na división dunha volta completa en 2n partes iguais para outros valores de n. Para definir a medida dun ángulo sólido Ω, trázase unha esfera de raio r e considérase a área, A, da rexión esférica intersección do ángulo sólido coa esfera. A medida de Ω será igual ao cociente entre a área A e o cadrado do raio da esfera, r2.
A unidade de medida de ángulos sólidos é o estereorradián. O ángulo que mide un estereoradián é aquel que proxecta unha superficie na esfera de r2 unidades cadradas. Como a superficie da esfera é igual a 4πr2, resulta que toda a superficie esférica mide 4π estereorradiáns, a a semiesfera 2π estereorradiáns.
Instrumentos de medida miniatura|Transportador de ángulos. Os aparellos para medición de ángulos varían segundo o contexto; así, sobre o terreo úsanse os teodólitos e os goniómetros, como en topografía e enxeñaría; na navegación úsabase o sextante, hoxe en día en desuso ao ser substituído polos modernos GPS; e sobre o papel trabállase co transportador de ángulos, limitado hoxe o seu uso nas tarefas escolares, antigamente úsábase na elaboración de planos de arquitectura ou enxeñaría, onde caeu en desuso coa aparición dos programas informáticos de deseño gráfico.
Clasificación Ángulos de ata media volta miniatura|esquerda|134px|Ángulo recto. Considerando que a rexión da que fala a definición de ángulo é a menor rexión do plano comprendida entre os dous lados, só teríamos ángulos de ata media volta de circunferencia (entre 0º e 180º). Neste caso, un ángulo pode ser: miniatura|231px|Ángulos: agudo (a), obtuso (b), e raso (c). a e b son ángulos suplementarios. Ángulo agudo, de menos dun cuarto de volta. Ángulo recto, dun cuarto de volta (90º ou π/2 rad). Dúas rectas que forman un ángulo recto chámanse perpendiculares, ortogonais ou normais. Ángulo obtuso, de máis dun cuarto de volta. Ángulo raso, de media volta (180º ou π rad).
Dous ángulos agudos dinse complementarios se suman un cuarto de volta. Se un ángulo mide α graos, o seu complementario mide 90º − α graos.
Dous ángulos dinse suplementarios se suman o ángulo raso. Se un ángulo mide α graos, o seu complementario mide 180º − α graos. O suplementario do ángulo recto é el mesmo; o suplementario dun ángulo agudo é un ángulo obtuso e viceversa.
Ángulos de ata unha volta completa miniatura|96px|Ángulo cóncavo. Introducindo unha difereciación entre os dous lados que delimitan o ángulo (lado orixe ou inicial e lado extremo, final ou terminal), unha certa orientación que indica o sentido de xiro desde o lado orixe ata o lado extremo, e definindo a rexión que abarca o ángulo como a que varre o xiro; haberá ángulos de ata unha volta completa de circunferencia (entre 0º e 360º). Neste suposto, un ángulo pode ser: Ángulo convexo, de menos de media volta que, á súa vez, pode ser: Agudo, de menos dun cuarto de volta. Recto, dun cuarto de volta. Obtuso, de entre un cuarto e media media. Ángulo raso, de media volta. Ángulo cóncavo, de máis de media volta. Ángulo completo, dunha volta completa (360º ou 2π rad).
Dous ángulos dinse conxugados se suman o ángulo completo. Se un ángulo mide α graos, o seu conxugado mide 360º − α graos.
Outros ángulos relacionados miniatura|Dous ángulos opostos polo vértice. Dous ángulos son consecutivos cando teñen o mesmo vértice e un lado común. Dous ángulos chámanse adxacentes cando son simultaneamente consecutivos e suplementarios. Dous ángulos son opostos polo vértice cando teñen o mesmo vértice e os lados son semirrectas opostas. Os ángulos opostos polo vértice son congruentes.