O cálculo multivariábel (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis. miniatura|Campo escalar con dúas variábeis
Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais
Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa
un campo vectorial que fai corresponder a todo punto P definido biunivocamente polo seu vector posición un vector onde o punto O é a orixe de coordenadas. con e . Cando tense un campo escalar. Para tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.
Límites e continuidade Sexan e . Escríbese: , ou ben, cando para expresar o seguinte:
onde é a norma euclidiana de . Expresándoo en función das compoñentes de
ou, de forma equivalente,
Derivadas direccionais
Derivada dun campo escalar respecto dun vector miniatura Sexa . Sexa un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo e un vector arbitrario de . Defínese a derivada de f en respecto a como
Derivadas parciais
Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, , tense . Na práctica, calcularase derivando respecto a e supondo constante.
A diferencial
Definición de campo escalar diferenciábel Dise que f é diferenciábel en . ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de f en a. A anterior ecuación é a fórmula de Taylor de primeira orde para .
Teorema de unicidade da diferencial é diferenciábel en con diferencial a) b)
Regra da cadea Sexa un campo escalar e . Defínese a función composta como , entón
Diferencial dun campo vectorial Sexa un campo vectorial. Sexa e un vector calquera. Defínese a derivada }} Expresando en función das súas compoñentes, tense
Dise que é diferenciábel , aplicación linear que verifica: .}} Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para . A matriz de é a súa matriz jacobiana.
Diferenciabilidade implica continuidade Se un campo vectorial é diferenciábel en é continuo en . Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.
Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais Sexa un campo vectorial definido e diferenciábel en . A súa diferencial é
Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas ambas as derivadas parciais existen e son continuas en .
Aplicacións do cálculo diferencial
Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares miniatura|Función cun punto de sela Defínense os seguintes conceptos: Un campo escalar ten un máximo en existe unha n-bola Un campo escalar ten un mínimo en existe unha n-bola Un campo escalar ten un punto de sela
Para saber se é un dos casos anteriores: Obtense Obtense a matriz hessiana de f. Sexa esta . é definida positiva ten un mínimo relativo en . é definida negativa ten un máximo relativo en . é indefinida ten un punto de sela en .
No anterior supúxose que é continua
Notas
Véxase tamén
Bibliografía Apostol, Tom M., Calculus, volume 2, editorial Reverté, S. a., ISBN 84-291-5003-X
Ligazóns externas UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007 Multivariable Calculus : A free online textbook by George Cain and James Herod Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley Multivariable Calculus – A Very Quick Review , Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
Categoría:Análise matemática