En teoría de números,o teorema de Lucas expresa o resto da división do coeficiente binomial por un número primo p en función da expansión en base p dos enteiros m e n.
Teorema Para os enteiros non negativos m e n e un primo p, cúmprese a seguinte relación de congruencia:
onde
son as expansións en base p de m e n respectivamente. Utilizando a convención se m < n .
Proba
Consecuencias
Un coeficiente binomial é divisible por un primo p se e só se polo menos un dos díxitos en base p de n é maior que o correspondente de m. En particular, é impar se e só se os díxitos binarios (bits) na expansión binaria de n son un subconxunto dos bits de m.
Variacións e xeneralizacións
O teorema de Kummer afirma que o maior enteiro k tal que pk divide o coeficiente binomial (ou noutras palabras, a valoración do coeficiente binomial con respecto ao primo p) é igual ao número de carrexos que se producen cando sumamos n e m − n en base p.
Davis e Webb (1990) e Granville (1997) ofrecen xeneralizacións do teorema de Lucas para o caso de que p sexa unha potencia prima. O teorema de q-Lucas é unha xeneralización para os coeficientes q-binomiais, probado por primeira vez por J. Désarménien. Categoría:Teoría de números Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Lucas
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Teorema de Kummer. Ligazóns externas