dereita|miniatura| Unha ilustración esquemática dunha función limitada (vermello) e outra non limitada (azul). Intuitivamente, a gráfica dunha función limitada permanece dentro dunha banda horizontal, mentres que a gráfica dunha función non limitada non permanece. En matemáticas, unha función definida nalgún conxunto con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real tal que
para todo en . No caso contrario a función dise que é non limitada.
Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde tómase como o conxunto dos números naturais. Así unha secuencia está limitada se existe un número real tal que
para cada número natural . O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións .
A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións tomando valores nun espazo máis xeral ao esixir que a imaxe sexa un conxunto limitado .
Nocións relacionadas Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de limitado localmente, cando está limitada en cada punto.
Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente, cando toda a familia está limitada pola mesma constante.
Exemplos
A función seno, está limitada xa que para todas as . A función , definida para todos os reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, ou . A función , definida para todos os reais, está limitada, xa que para todos os . A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: ou é crecente para todos os números reais e limitados por radiáns Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como , está limitada. De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada. Todas as funcións de valores complexos que son enteiras son non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville. En particular, a función complexa debe ser non limitada xa que é enteira. A función que toma o valor 0 para número racional e 1 para número irracional (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións e definida por e son ambas as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.(No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.)
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Límite dunha función. Límite dunha sucesión. Conxunto limitado
Categoría:Análise matemática