miniatura| é o grupo , os enteiros mod 8 baixo a suma. O subgrupo contén só 0 e 4. Hai catro clases esquerdas de : o propio , , e (escrito usando notación aditiva xa que este é o grupo aditivo). Xuntos dividen todo o grupo en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice é 4. En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, pódese usar un subgrupo dun grupo para descompoñer o conxunto subxacente de en subconxuntos disxuntos e de igual tamaño chamados coclases (ou cosets en inglés). Hai coclases esquerdas e dereitas. As coclases (tanto á esquerda como á dereita) teñen o mesmo número de elementos (cardinalidade) que . A maiores, o propio é tanto un grupo esquerdo como un grupo dereito. O número de coclases esquerdas de en é igual ao número de coclases dereitas de en . Este valor común chámase índice de en e normalmente denótase por .
As coclases son unha ferramenta básica no estudo dos grupos; por exemplo, desempeñan un papel central no teorema de Lagrange que afirma que para calquera grupo finito , o número de elementos de cada subgrupo de divide o número de elementos de . As coclases do subgrupo normal pódense usar como elementos doutro grupo chamado grupo cociente. As coclases tamén aparecen noutras áreas das matemáticas como os espazos vectoriais e os códigos de corrección de erros .
Definición Sexa un subgrupo do grupo cuxa operación escríbese multiplicativamente (a xustaposición denota a operación do grupo). Dado un elemento de , as coclases esquerdas de en son os conxuntos obtidos multiplicando cada elemento de por un elemento fixo de (onde é o factor esquerdo). En símbolos estas son, .
As coclases dereitas defínense de xeito similar, agás que o elemento agora é un factor pola dereita, é dicir, .
Dúas coclases esquerdas calquera (respectivamente dereitas) son disxuntas ou son idénticas como conxuntos.
Se a operación do grupo é aditiva, como adoita suceder cando o grupo é abeliano, a notación utilizada muda a ou , respectivamente.
O símbolo G/H ás veces úsase para o conxunto de coclases (esquerdas) { gH : g un elemento de G } (ver embaixo para unha extensión a coclases dereitas e duplas). No entanto, algúns autores (incluíndo Dummit & Foote e Rotman) reservan esta notación especificamente para representar o grupo cociente formado a partir das coclases no caso de que H sexa un subgrupo normal de G.
Primeiro exemplo Sexa o grupo diédrico de orde seis. Os seus elementos pódense representar por . Neste grupo, e . Esta é información abonda para cubrir toda a táboa de Cayley: ∗ Sexa o subgrupo . As coclases pola esquerda (distintas) de son:
. . .
Dado que agora todos os elementos de apareceron nunha destas coclases, xerar máis non pode dar novas coclases; calquera coclase nova tería que ter un elemento en común cunha destas e, polo tanto, sería idéntica a unha destas coclases. Por exemplo, .
As clases dereitas de son:
, . .
Neste exemplo, menos para , ningunha coclase esquerda é tamén unha coclase dereita.
Sexa o subgrupo . As coclases esquerdas de son e . As coclases dereitas son e . Neste caso, cada coclase esquerda de tamén é unha coclase dereita de .
Sexa un subgrupo do grupo e supoña que , . As seguintes sentenzas son equivalentes:
Propiedades Todo elemento de pertence exactamente a unha coclase esquerda do subgrupo , e é en si mesmo unha coclase esquerda (e o que contén a identidade).
Dous elementos que están na mesma coclase esquerda tamén proporcionan unha relación de equivalencia natural. Defina dous elementos de , e , para que sexan equivalentes en relación ao subgrupo se (ou de forma equivalente se pertence a ). As clases de equivalencia desta relación son as coclases esquerdas de . Como con calquera conxunto de clases de equivalencia, forman unha partición do conxunto subxacente. Un representante de clase é un representante no sentido da clase de equivalencia. Un conxunto de representantes de todos os grupos de clase chámase transversal. Existen outros tipos de relacións de equivalencia nun grupo, como a conxugación, que forman diferentes clases que non teñen as propiedades aquí comentadas.
Declaracións semellantes aplícanse ás coclases dereitas.
Se é un grupo abeliano, entón para todo subgrupo de e cada elemento de . Para grupos en xeral, dado un elemento e un subgrupo dun grupo , a coclase dereita de con relación a é tamén a coclase esquerda do subgrupo conxugado con relación a , é dicir, .
Subgrupos normais Un subgrupo dun grupo é un subgrupo normal de se e só se para todos os elementos de as coclases dereitas e esquerdas correspondentes son iguais, é dicir, . Este é o caso do subgrupo no primeiro exemplo anterior. A maiores, as clases de en forman un grupo chamado grupo cociente ou grupo de factores /.
Se non é normal en , entón as súas coclases esquerdas son diferentes das súas coclases dereitas. É dicir, hai un en tal que ningún elemento satisfai . Isto significa que a partición de nas coclases esquerdas de é unha partición diferente que a partición de nas coclases dereitas de . Isto é ilustrado polo subgrupo no primeiro exemplo anterior. ( Algunhas clases poden coincidir. Por exemplo, se está no centro de , entón ).
Por outra banda, se o subgrupo é normal o conxunto de todas as coclases forman un grupo chamado grupo cociente / coa operación definida por . Dado que toda coclase dereita é unha coclase esquerda, non hai necesidade de distinguir as "coclases esquerdas" das "coclases dereitas".
Índice dun subgrupo Cada clase esquerda ou dereita de ten o mesmo número de elementos (ou cardinalidade no caso dun infinito) que o propio . A maiores, o número de clases esquerdas é igual ao número de clases dereitas e coñécese como índice de en G, escrito como . O teorema de Lagrange permítenos calcular o índice no caso de que e sexan finitos: Esta ecuación tamén vale no caso de que os grupos sexan infinitos, aínda que o significado pode ser menos claro.
Máis exemplos
Números enteiros Sexa o grupo aditivo dos enteiros, e o subgrupo . Daquela as coclases de en son os tres conxuntos , e , onde . Estes tres conxuntos particionan o conxunto , polo que non hai outras clases dereitas de . Debido á conmutividade da suma e . É dicir, cada coclase esquerda de tamén é unha coclase dereita, polo que é un subgrupo normal. (O mesmo argumento mostra que cada subgrupo dun grupo abeliano é normal).
Vectores Outro exemplo de coclase provén da teoría dos espazos vectoriais. Os elementos (vectores) dun espazo vectorial forman un grupo abeliano baixo a suma de vectores. Os subespazos do espazo vectorial son subgrupos deste grupo. Para un espazo vectorial , un subespazo e un vector fixo en , os conxuntos
chámanse subespazos afíns e son coclases (tanto pola esquerda como pola dereita, xa que o grupo é abeliano). En termos de vectores xeométricos tridimensionais, estes subespazos afíns son todas as "liñas" ou "planos" paralelos ao subespazo, que é unha liña ou plano que pasa pola orixe. Por exemplo, considere o plano . Se é unha liña que pasa pola orixe , entón é un subgrupo do grupo abeliano . Se está en , entón o conxunto é unha recta paralela a e que pasa por .
Matrices Sexa o grupo multiplicativo de matrices,
e o subgrupo de ,
Para un elemento fixo de considere a coclase esquerda
É dicir, as coclases esquerdas consisten en todas as matrices de que teñen a mesma entrada superior esquerda. Este subgrupo é normal en , mais o subgrupo
non é normal en .
Como órbitas dunha acción de grupo Un subgrupo dun grupo pódese usar para definir unha acción de sobre de dúas formas naturais. Unha acción pola dereita, dada por ou unha acción pola esquerda, dada por . A órbita de baixo a acción pola dereita é a coclase esquerda , mentres que a órbita baixo a acción pola esquerda é a coclase dereita .
Coclases duplas Dados dous subgrupos, e (que non precisan ser distintos) dun grupo , as coclases duplas de e en son os conxuntos da forma . Estas son as coclases esquerdas de e as dereitas de cando ou respectivamente.
Dúas coclases duplas e son disxuntas ou idénticas. O conxunto de todas as coclases duplas para e fixos forman unha partición de .
Unha coclase dupla contén as coclases dereitas completas de (en ) da forma , con un elemento de e as coclases esquerdas completas de (en ) da forma , con en .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Grupo cociente. Subgrupo normal. Ligazóns externas
Illustrated examples
Categoría:Teoría de grupos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas