Nas matemáticas de series converxentes e diverxentes, a suma de Euler é un método de suma. É dicir, é un método para asignar un valor a unha serie, diferente do método convencional de tomar límites de sumas parciais. Dada unha serie Σan, se a súa transformada de Euler converxe nunha suma, entón esa suma chámase suma de Euler da serie orixinal. A maiores de utilizarse para definir valores para series diverxentes, a suma de Euler pódese usar para acelerar a converxencia das series.
A suma de Euler pódese xeneralizar nunha familia de métodos indicados como (E, q), onde q ≥ 0. A suma (E, 1) é a suma ordinaria de Euler. Todos estes métodos son estritamente máis débiles que a suma de Borel; para q > 0 son incomparábeis coa suma de Abel.
Definición Para algún valor y podemos definir a suma de Euler (se converxe para ese valor de y) correspondente a unha suma formal particular como:
Se todas as sumas formais converxen, a suma de Euler será igual ao lado esquerdo. Porén, usar a suma de Euler pode acelerar a converxencia (isto é especialmente útil para alternar series); ás veces tamén pode dar un significado útil ás sumas diverxentes.
Para xustificar o enfoque, observe que para a suma trocada, a suma de Euler redúcese á serie inicial, porque
Este método en si non se pode mellorar mediante unha aplicación iterativa, xa que
Exemplos
Usando y = 1 para a suma formal conseguimos se Pk é un polinomio de grao k. Teña en conta que a suma interna sería cero para , polo que neste caso a suma de Euler reduce unha serie infinita a unha suma finita. A elección particular proporciona unha representación explícita dos números de Bernoulli, xa que (función zeta de Riemann ). De feito, a suma formal neste caso diverxe xa que k é positiva, mais aplicando a suma de Euler á función zeta (ou mellor dito, á función eta de Dirichlet relacionada) produce (cf. Serie globalmente converxente) que é unha forma pechada.
Cunha escolla adecuada de y (é dicir, igual ou próximo a − ) esta serie converxe a Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Transformación binomial Suma de Borel Suma de Cesàro Suma de Lambert Fórmula de Perron Teoremas abelianos e tauberianos Fórmula de Abel-Plana Fórmula da suma de Abel Transformmación de Van Wijngaarden Suma de Euler-Boole Serie diverxente
Categoría:Cálculo Categoría:Teoría de números