dereita|miniatura| Figura 1. Gráfica dunha función monótona (función crecente). dereita|miniatura| Figura 2. Gráfico dunha función monótona (función decrecente). dereita|miniatura| Figura 3. Gráfica dunha función que non é monótona. En matemáticas, unha función monótona é unha función entre conxuntos ordenados que conserva ou inverte a orde. No primeiro caso, fálase dunha función crecente e no outro de función decrecente. Este concepto apareceu por primeira vez na análise real de funcións numéricas e despois xeneralizouse no marco máis abstracto da teoría da orde.
Monotonía na análise real Intuitivamente (ver as figuras ao lado), a representación gráfica dunha función monótona nun intervalo é unha curva que “sobe» constantemente ou «baixa» constantemente. Se este aspecto gráfico é inmediatamente revelador, non é, porén, a única forma na que se revela a propiedade da monotonía: unha función monótona é unha función que sempre ten o mesmo efecto sobre a relación de orde. Para unha función crecente, a orde que existe entre dúas variábeis atópase na orde das súas imaxes, para unha función decrecente, a orde das imaxes invírtese en comparación coa orde dos antecedentes.
Para unha función con derivada nun intervalo, o estudo da monotonía está ligado ao estudo do signo da derivada, que é constante: sempre positivo ou sempre negativo.
Definición Sexa un intervalo de e unha función de valores reais, cuxo dominio de definición contén este intervalo .
Monotonía en sentido amplo. Dise que é :
crecente (ou: crecente en sentido amplo) sobre se para todo par tal que , temos ; decrecente (ou : decrecente en sentido amplo) sobre se para todo par tal que , temos ; monótona (ou: monótona no sentido amplo) en se é crecente en ou decrecente en .
Exemplo: para todo real , denotado a parte enteira de (é o único enteiro relativo tal que ). A función vai crecendo en pero non é estritamente crecente (ver máis abaixo), porque é constante en cada intervalo de extremos enteiros.
Estritamente monótona. Dise que é:
estritamente crecente en se para todo par tal que , temos ; estritamente decrecente en se para todo par tal que , temos ; estritamente monótona sobre se é estritamente crecente en ou estritamente decrecente en .
Exemplos : sexa un enteiro estritamente positivo.
A función , é estritamente crecente en .En efecto, se e son números reais tal que e , entón . Deducimos por indución sobre o número enteiro que para calquera parella de positivos reais ou ceros tal que , temos . Cando é impar, a función , é estritamente crecente en . De feito, é estritamente crecente en (ver o exemplo anterior) e impar.
Nota 1: para que unha función sexa crecente (respectivamente estritamente crecente) en , é necesario e suficiente que sexa decrecente (resp. estritamente decrecente) en .
Nota 2 : para que unha función monótona non o sexa estritamente, é necesario (e desde logo é suficiente) que conteña un intervalo non trivial (é dicir, non baleiro e non reducido a un punto) no que é constante.
Propiedades elementais
Operacións alxébricas Sexan dúas funcións crecentes . Temos:
a súa suma é crecente; se teñen valores positivos, o seu produto é crecente.
Existe a propiedade análoga para funcións estritamente crecentes.
Composición Sexan dúas funcións e , onde e son dous intervalos reais tal que ; podemos definir a función composta .
Se é monótona en e é monótona en , daquela é monótona en . Máis precisamente :
se e ambos as dúas son crecentes ou decrecentes, entón é crecente; se unha das dúas funcións ou é crecente e a outra decrecente, entón é decrecente.
Exste a propiedade análoga para as funcións estritamente monótonas.
Inxectividade Unha función estritamente monótona nun intervalo é inxectiva, é dicir que dous elementos de distintos teñen imaxes distintas.
Esta propiedade, combinada co teorema do valor intermedio, é útil para atopar o número de ceros nunha función.
Propiedades relativas á continuidade e límites
Teorema do límite monótono para unha función Sexa un intervalo aberto (limitado ou non) e unha función crecente . Así:
admite en todos os puntos de un límite pola esquerda e un límite pola dereita, finitos, que denotamos respectivamente. e ; verifican a dobre desigualdade ; admite un límite pola esquerda , finito ou igual a ; este límite é finito se e só se é maior. admite un límite pola dereita en , finito ou igual a ; este límite é finito se e só se é menor.
Un teorema análogo para funcións decrecentes dedúcese inmediatamente substituíndo por .
Un corolario deste teorema é a continuidade de calquera sobrexección monótona dun intervalo sobre un intervalo.
Puntos de descontinuidade Teorema de Froda (1929): o conxunto de puntos de descontinuidade dunha función monótona é finito ou numerábel (dicimos que é numerábel como máximo ). Efectivamente, denotando , a familia de reais estritamente positivos é sumábel e, polo tanto, como moito numerábel para todos os incluídos no intervalo de monotonía. Froda demostrou de feito que para calquera función real, o conxunto de puntos de descontinuidade do primeiro tipo é como moito numerábel. Ou para unha función monótona, o teorema do límite monótono di exactamente que este tipo de descontinuidade é a única posíbel.
Monotonía e signo da derivada Un uso clásico e importante do cálculo diferencial é a caracterización, entre as funcións diferenciábeis (dunha variábel real, e con valores reais), das que son monótonas (en sentido amplo ou en sentido estrito) nun intervalo.
Teorema:
Observacións Dedúcese que unha condición suficiente para que unha función derivábel sexa estritamente crecente en é que para todo . Pero esta condición non é de ningún xeito necesaria, como mostra o enunciado do teorema e os dous exemplos seguintes. Este teorema xeneralízase a funcións continuas nun intervalo mais derivábeis só no complemento dun subconxunto numerábel: cf. Teorema do valor medio.
Exemplo 1 A función , é estritamente crecente en . O criterio anterior permítenos volver demostralo: é derivábel, e para todo real ; a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é ; é de interior baleiro.
Exemplo 2 A función , é estritamente crecente en . De feito: é derivábel, e para calquera real ; a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é , que é internamente baleiro (mesmo é contábel).
Exemplo 3 A función é constante. En efecto, as derivadas de e , definidas en , son opostas entre si e en é cero e é constante. Así, para todo En (e mesmo en , por continuidade), .
Monotonía na topoloxía Unha aplicación entre dous espazos topolóxicos dise que é monótona se cada unha das súas fibras é conexa, é dicir que para todos os en o conxunto (que pode estar baleiro) é conexo.
Monotonía na análise funcional En análise funcional, un operador nun espazo vectorial topolóxico (que pode ser non linear) chámase operador monótono se
O teorema de Kachurovskii mostra que as derivadas das funcións convexas nos espazos de Banach son operadores monótonos.
A monotonía na teoría da orde A teoría da orde trata de conxuntos parcialmente ordenados e conxuntos preordenados en xeral, ademais dos intervalos reais. A definición anterior de monotonía tamén é relevante nestes casos. Por exemplo, considere unha aplicación dun conxunto ordenado nun conxunto ordenado .
chámase aplicación crecente (respectivamente, aplicación estritamente crecente) se conserva a orde (respectivamente, a orde estritamente), é dicir, se dous elementos e de verifican (resp. ), e as súas respectivas imaxes por verifican (respectivamente, ). chámase aplicación decrecente (resp. aplicación estritamente decrecente ) se inverte a orde (resp. a orde estritamente), é dicir, se dous elementos e de verifican (resp. ), e as súas respectivas imaxes por verifican (resp. )
As aplicacións monótonas son fundamentais na teoría da orde. Algunhas aplicacións monótonas notábeis son os mergullos de ordes (aplicacións para as que se e só se e os isomorfismos de orde (os mergullos de orde que son sobrexectivos). Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Operador monótono.
Categoría:Teoría da orde Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Categoría:Funcións Categoría:Cálculo