Na teoría das categorías, o produto de dous (ou máis) obxectos nunha categoría é unha noción deseñada para captar a esencia detrás das construcións noutras áreas das matemáticas, como o produto cartesiano de conxuntos, o produto directo de grupos ou aneis e o produto de espazos topolóxicos. Esencialmente, o produto dunha familia de obxectos é o obxecto "máis xeral" que admite un morfismo a cada un dos obxectos dados.
Definición
Produto de dous obxectos Fixamos unha categoría Sexan e obxectos de Un produto de e é un obxecto normalmente denotado equipado cun par de morfismos que satisfán a seguinte propiedade universal:
Para cada obxecto e cada par de morfismos existe un morfismo único tal que o seguinte diagrama conmuta: alt=Universal property of the product|centro|280x280px| Propiedade universal do produto
A existencia dun produto pode depender de ou de e Se existe, é único ata o isomorfismo canónico, por mor da propiedade universal, polo que se pode falar do produto. Isto ten o seguinte significado: se é outro produto, existe un isomorfismo único tal que e .
Os morfismos e chámanse proxeccións canónicas ou morfismos de proxección; a letra alitera con proxección. Dado e o morfismo único chámase produto de morfismos e e pode ser denotado , , ou .
Produto dunha familia arbitraria En lugar de dous obxectos, podemos comezar cunha familia arbitraria de obxectos indexados por un conxunto
Dada unha familia dos obxectos, un produto da familia é un obxecto equipado con morfismos a satisfacer a seguinte propiedade universal:
Para cada obxecto e cada -familia indexada de morfismos existe un morfismo único de tal xeito que os seguintes diagramas conmutan para tódolos alt=Universal product of the product|centro| Produto universal do produto
O produto denótase como Se entón denótase como e o produto dos morfismos denótase como
Definición mediante ecuacións Alternativamente, o produto pódese definir mediante ecuacións. Así, por exemplo, para o produto binario:
A existencia de está garantida pola existencia da operación A conmutatividade dos diagramas anteriores está garantida pola igualdade: para todos os e todo A singularidade de está garantida pola igualdade: para tódolos
Como límite O produto é un caso especial de límite (teoría das categorías).
Isto pódese ver usando unha categoría discreta (unha familia de obxectos sen ningún morfismo, alén dos seus morfismos de identidade) como o diagrama necesario para a definición do límite.
Os obxectos discretos servirán como índice dos compoñentes e proxeccións. Se consideramos este diagrama como un functor, é un functor do conxunto de índices considerado como unha categoría discreta.
A definición do produto coincide logo coa definición do límite, sendo un cono e as proxeccións sendo o límite (cono limitante).
Exemplos Na categoría de conxuntos, o produto (no sentido teórico da categoría) é o produto cartesiano. Dada unha familia de conxuntos o produto defínese como coas proxeccións canónicas Dado calquera conxunto cunha familia de funcións a frecha universal está definida por
Outros exemplos:
Na categoría de espazos topolóxicos, o produto é o espazo cuxo conxunto subxacente é o produto cartesiano e que leva a topoloxía do produto. A topoloxía do produto é a topoloxía máis grosa (máis débil) para a cal todas as proxeccións son continuas. Na categoría de módulos sobre algún anel o produto é o produto cartesiano con suma definida por compoñentes e multiplicación distributiva. Na categoría de grupos, o produto é o produto directo de grupos dado polo produto cartesiano coa multiplicación definida por compoñentes. Un conxunto parcialmente ordenado pódese tratar como unha categoría, utilizando a relación de orde como os morfismos. Neste caso, os produtos e coprodutos corresponden aos límites inferiores maiores (meets) e mínimos límites superiores (joins).
Distributividade Para calquera obxecto dunha categoría con produtos finitos e coprodutos, existe un morfismo canónico onde o signo máis aquí indica o coproduto. Para ver isto, teña en conta que a propiedade universal do coproduto garante a existencia de frechas únicas enchendo o seguinte diagrama (as frechas inducidas son as descontinuas): centro|400x400px A propiedade universal do produto garante logo un morfismo único inducido polas frechas descontinuas do diagrama anterior.
Unha categoría distributiva é aquela na que este morfismo é realmente un isomorfismo. Así, nunha categoría distributiva, existe o isomorfismo canónico
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Chapter 5.
Definition 2.1.1 in
Outros artigos Límite (teoría das categorías) Coproduto Límite inverso Produto cartesiano
Ligazóns externas Páxina Interactiva que xera exemplos de produtos na categoría de conxuntos finitos.
Categoría:Teoría das categorías Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas