dereita|miniatura|280x280px| O plano sombreado é o espazo linear xerado por u e v tanto en R2 como en R3, aquí mostrado en perspectiva. Dous vectores, que non están na mesma recta, xeran un plano nas tres dimensións (R3
En matemáticas, o espazo vectorial xerado por un conxunto (sistema xerador, en inglés span) dalgúns elementos dun espazo vectorial é o subespazo linear máis pequeno de que contén
É o conxunto de todas as combinacións lineares finitas dos elementos de , p. 29, § 2.7 e tamén se pode ver como a intersección de todos os subespazos lineares que conteñen Moitas veces denotado como pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8 ou
Por exemplo, en xeometría, dous vectores linearmente independentes xeran un plano.
Definición Dado un espazo vectorial sobre un corpo , o espazo vectorial xerado por un conxunto de vectores (non necesariamente finito) defínese como a intersección de todos os subespazos de que conteñen a . É polo tanto o subespazo máis pequeno (na inclusión de conxuntos) que contén . Denomínase subespazo xerado por , ou polos vectores en . Se trocamos a orde da frase, é o sistema xerador de , e dicimos que xera .
Desta definición despréndese que o espazo vectorial xerado por é o conxunto de tódalas combinacións lineares finitas de elementos (vectores) de , e pódese definir como tal. p. 100, ch. 2, Definition 2.13 pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8 pp. 41-42 É dicir,
Exemplos O espazo vectorial real ten {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como sistema xerador. Este conxunto tamén é unha base. Se (−1, 0, 0) fose substituído por (1, 0, 0), tamén formaría unha base denominada base canónica de .
Outro sistema xerador para o mesmo espazo vén dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,, 3), (1, 1, 1)}, mais este conxunto non é unha base, porque é linearmente dependente.
O conxunto } non é un conxunto xerador de , porque o que xera ese conxunto é un espazo con todos os vectores en cuxo último compoñente é cero. Ese espazo tamén se pode xerar polo conxunto de só dous vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, xa que o terceiro (1, 1, 0) é unha combinación linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Por tanto, o espazo xerado non é , senón un plano de dúas dimensións dentro de .
O conxunto de monomios , onde é un número enteiro non negativo, xera o espazo dos polinomios.
Teoremas
Equivalencia de definicións O conxunto de todas as combinacións lineares dun subconxunto de , un espazo vectorial sobre , é o subespazo linear máis pequeno de que contén a .
O tamaño do sistema xerados é polo menos o tamaño do conxunto linearmente independente Todo sistema xerador dun espazo vectorial xerado debe conter polo menos tantos elementos como calquera conxunto linearmente independente de vectores de .
O sistema xerador pódese reducir a unha base Sexa un espazo vectorial de dimensión finita. Calquera conxunto de vectores que xera pódese reducir a unha base de , descartando algúns vectores se é necesario (é dicir, se hai vectores linearmente dependentes no conxunto).
Se o axioma de escolla é válido, isto é certo tamén para dimensión infinita. Isto tamén indica que unha base é un sistema xerador mínimo cando é de dimensión finita.
Espazo vectorial xerado pechado (análise funcional) Na análise funcional, unha espazo vectorial pechado xerado por un conxunto de vectores é o conxunto pechado mínimo que contén o sistema xerador dese conxunto.
Supoña que é un espazo vectorial normado e sexa calquera subconxunto non baleiro de . O espazo vectorial pechado xerado por , denotado como ou , é a intersección de todos os subespazos lineares pechados de que conteñen .
Unha formulación matemática disto é
Un lema útil Sexa un espazo normado e sexa calquera subconxunto non baleiro de . Daquel(Por tanto, a forma habitual de atopar o espazo vectorial pechado xerado é atopar primeiro o espazo vectorial xerado e despois o peche dese espazo vectorial).
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
Outros artigos Espazo vectorial. Sistema de ecuacións lineares Envolvente convexa
Ligazóns externas Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
Categoría:Álxebra lineal Categoría:Álxebra abstracta