En matemáticas, máis concretamente en análise funcional un espazo de Banach é un espazo vectorial normado completo. Polo tanto, un espazo de Banach é un espazo vectorial cunha métrica que permite o cálculo da lonxitude do vector e a distancia entre vectores, e é completo no sentido de que unha secuencia de vectores de Cauchy sempre converxe a un límite ben definido que está dentro do espazo.
Os espazos de Banach reciben o seu nome do matemático polaco Stefan Banach, quen introduciu este concepto e o estudou sistematicamente entre 1920 e 1922 xunto con Hans Hahn e Eduard Helly. Maurice René Fréchet foi o primeiro en empregar o termo "espazo de Banach" e Banach, á súa vez, acuñou o termo "espazo de Fréchet".
Os espazos de Banach xurdiron orixinalmente do estudo dos espazo de funcións realizado por Hilbert, Fréchet e Riesz a principios de século. Os espazos de Banach xogan un papel central na análise funcional. Noutras áreas de análise, os espazos en estudo adoitan ser espazos de Banach.
Definición Un Espazo de Banach é un espazo normado completo
Un espazo normado é un par que consiste nun espazo vectorial sobre un corpo escalar (onde soe ser ou ) xunto cunha norma Como todas as normas, esta norma induce unha invariante de translación función de distancia, chamada métrica canónica ou (norma) métrica inducida, definida para todos os vectores como
Isto converte nun espazo métrico
Unha secuencia chámase de ou ou se para todo real existe algún índice tal que
sempre que e sexan maiores que
O espazo normado chámase espazo de Banach e a métrica canónica chámase métrica completa se é un espazo métrico completo, o que por definición significa que para toda secuencia de Cauchy en existe algún tal que
onde por mor de a converxencia desta secuencia a pódese expresar de xeito equivalente como
Caracterización por series A estrutura do espazo vectorial permite relacionar o comportamento das secuencias de Cauchy co das series converxentes de vectores. Un espazo normado é un espazo de Banach se e só se cada serie absolutamente converxente en converxe a un valor que se atopa dentro de see Theorem 1.3.9, p. 20 in . simbolicamente
Topoloxía A métrica canónica dun espazo normado induce a topoloxía métrica habitual en que se denomina topoloxía canónica ou inducida por normas . Asúmese automaticamente que todo espazo normado leva esta topoloxía de Hausdorff, a menos que se indique o contrario. Con esta topoloxía, cada espazo de Banach é un espazo de Baire, aínda que existen espazos normados que son de Baire pero non de Banach. A norma é sempre unha función continua en relación á topoloxía que induce.
As bólas abertas e pechadas de raio centradas nun punto son, respectivamente, os conxuntos
Calquera bóla deste tipo é un subconxunto limitado e convexo de , pero existe unha bóla/veciñanza compacta se e só se é finito-dimensional. En particular, ningún espazo normado de dimensión infinita pode ser localmente compacto nin ter a propiedade de Heine-Borel.
Se é un vector e é un escalar, entón
O uso de mostra que a topoloxía inducida por normas é invariante de translación, o que significa que para calquera e o subconxunto é aberto (respectivamente, pechado) en se e só se a súa translación é aberta (respectivamente, pechada). En consecuencia, a topoloxía inducida por normas está completamente determinada por calquera base de veciñanza na orixe. Algunhas bases de veciñanza comúns na orixe inclúen
onde poden ser calquera secuencia de números reais positivos que converxa a en (as opcións comúns son or ). Así, por exemplo, calquera subconxunto aberto de pódese escribir como unha unión
indexada por algún subconxunto onde cada pode escollerse da secuencia mencionada iñantes .(As bólas abertas tamén se poden substituír por bólas pechadas, aínda que o conxunto de indexación e os raios tamén poden precisar ser substituídos). Alén disto, sempre pode ser escollido como numerábel se é un , o que por definición significa que contén algún numerábel.
Completude
Normas completas e normas equivalentes Dúas normas, e nun espazo vectorial dise que son equivalentes se inducen a mesma topoloxía; isto ocorre se e só se existen números reais de tal xeito que para tódolos Se e son dúas normas equivalentes nun espazo vectorial entón é un espazo de Banach se e só se é un espazo de Banach. Véxase esta nota ao pé para ver un exemplo dunha norma continua nun espazo de Banach que é equivalente á norma dada dese espazo de Banach. Todas as normas nun espazo vectorial de dimensión finita son equivalentes e todo espazo normado de dimensión finita é un espazo de Banach. see Corollary 1.4.18, p. 32 in .
Normas completas fronte a métricas completas Unha métrica nun espazo vectorial é inducida por unha norma en se e só se é invariante por translación e absolutamente homoxénea, o que significa que para todos os escalares e todo nese caso a función define unha norma sobre e a métrica canónica inducida por é igual a
Supoñamos que é un espazo normado e que é a norma topolóxica inducida en . Supoñamos que é métrica en tal que a topoloxía que induce en é igual a . Se é invariante por translación, entón é un espazo de Banach se e só se é un espazo métrico completo.
Se é invariante por traslación daquela pode ser posíbel que sexa un espazo de Banach pero que sexa un espazo métrico completo (véxase esta nota ao pé para un exemplo). En contraste, un teorema de Klee, que tamén se aplica a todos os espazos vectoriais topolóxicos metrizábeis, implica que se existe Non se asume que esta métrica sexa invariante por translación. Entón, en particular, esta métrica mesmo non ten que ser inducida por unha norma. métrica completa en que induce a norma topolóxica en , entón é un espazo de Banach.
Completamentos Todo espazo normado pode ser mergullado isometricamente nun subespazo vectorial denso dun espazo de Banach, onde este espazo de Banach se denomina un completamento do espazo normado. Este completamento de Hausdorff é único ata o isomorfismo isométrico.
Teoría xeral
Operadores lineares, isomorfismos Se e son espazos normados sobre o mesmo corpo base o conxunto de todos os -mapas lineares continuos denótanse por
En espazos de dimensión infinita, non todas as aplicacións lineares son continuas. Unha aplicación linear a partir dun espazo normado a outro espazo normado é continuo se e só se está limitado na bóla unitaria pechada de Así, ao espazo vectorial pódeselle dar a norma de operador
Para un espazo de Banach, o espazo é un espazo de Banach en relación a esta norma. En contextos categóricos, ás veces é conveniente restrinxir o espazo de funcións entre dous espazos de Banach só aos mapas métricos; nese caso, o espazo reaparece como un bifunctor natural.
Se é un espazo de Banach, o espazo forma unha álxebra de Banach unitaria; a operación de multiplicación vén dada pola composición de aplicacións lineares.
Se e son espazos normados, son espazos normados isomorfos se existe unha bixección linear de tal xeito que e o seu inverso son continuos. Se un dos dous espazos ou é completo (ou reflexivo, separábel, etc.), entón tamén o é o outro espazo. Dous espazos normados e son isométricamente isomorfos se a maiores, é unha isometría, é dicir, para todo en
A distancia de Banach-Mazur entre dous espazos isomorfos mais non isométricos e dá unha medida de canto os dous espazos e difiren.
Nocións básicas O produto cartesiano de dous espazos normados non está canonicamente equipado cunha norma. No entanto, úsanse habitualmente varias normas equivalentes, como
que corresponden (respectivamente) ao coproduto e ao produto na categoría de espazos de Banach e espazos métricos (comentados iñantes).Qiaochu Yuan (June 23, 2012). "Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)". Annoying Precision. Para (co)produtos finitos, estas normas dan lugar a espazos normados isomorfos, e o produto (ou a suma directa ) é completa se e só se os dous factores son completos.
Se é un subespazo linear pechado dun espazo normado existe unha norma natural no espazo cociente
O cociente é un espazo de Banach cando é completo. see pp. 17–19 in . O mapa cociente de en enviando á súa clase é linear, sobrexectivo e de norma agás cando nese caso o cociente é o espazo nulo.
O subespazo linear pechado de dise que é un subespazo complementado de se é o rango dunha proxección linear sobrexectiva limitada Neste caso, o espazo é isomorfo á suma directa de e o kernel da proxección
Supoñamos que e son espazos de Banach e que Existe unha factorización canónica de como see pp. 17–19 in .
onde o primeiro mapa é o mapa cociente e o segundo mapa envía cada clase no cociente cara a imaxe en Isto está ben definido porque todos os elementos da mesma clase teñen a mesma imaxe. O mapeo é unha bixección linear de sobrexectimante no rango cuxa inversa non precisa ser limitada.
Espazos clásicos Exemplos básicos see , pp. 11-12. de espazos de Banach inclúen: os espazos Lp e os seus casos especiais, os espazos de secuencias que consisten en secuencias escalares indexadas por números naturais ; entre eles, o espazo de secuencias absolutamente sumábeis e o espazo de secuencias cadradas sumábeis; o espazo de secuencias tendentes a cero e o espazo de secuencias limitadas; o espazo de funcións escalares continuas nun espazo compacto de Hausdorff equipado coa norma máxima,
Segundo o teorema de Banach-Mazur, todo espazo de Banach é isometricamente isomorfo a un subespazo dalgún see , Th. 9 p. 185. Para todo espazo de Banach separábel existe un subespazo pechado de de tal xeito que see Theorem 6.1, p. 55 in
Calquera espazo de Hilbert serve como exemplo de espazo de Banach. Un espazo de Hilbert en está completo para unha norma da forma
onde é o produto interno, linear no seu primeiro argumento, que cumpre o seguinte:
Por exemplo, o espazo é un espazo de Hilbert.
Os espazos de Hardy e os espazos de Sobolev son exemplos de espazos de Banach relacionados cos -espazos e teñen unha estrutura adicional. Son importantes en diferentes ramas da análise, análise harmónica e ecuacións diferenciais parciais, entre outras.
Álxebras de Banach Unha álxebra de Banach é un espazo de Banach sobre ou xunto cunha estrutura de álxebra sobre , de xeito que o mapa do produto é continuo. Unha norma equivalente en pódese atopar para que para tódolos
Exemplos
O espazo de Banach co produto punto por punto é unha álxebra de Banach. A álxebra de disco consiste en funcións holomorfas no disco unitario aberto e continuas no seu peche: Equipada en coa norma do máximo, a álxebra de disco é unha subálxebra pechada de A álxebra de Wiener é a álxebra de funcións na círculo unitario con series de Fourier absolutamente converxentes. Mediante o mapa que asocia unha función en á secuencia dos seus coeficientes de Fourier, esta álxebra é isomorfa á álxebra de Banach onde o produto é a convolución de secuencias. Para todo espazo de Banach o espazo de operadores lineares limitados en coa composición de mapas como produto, é unha álxebra de Banach. Unha C*-álxebra é unha álxebra de Banach complexa cunha involución antilinear tal que O espazo de operadores lineares limitados nun espazo de Hilbert é un exemplo fundamental de C*-álxebra. O teorema de Gelfand-Naimark afirma que toda C*-álxebra é isometricamente isomorfa a unha C*-subálxebra dalgún O espazo de funcións continuas complexas nun espazo compacto de Hausdorff é un exemplo de C*-álxebra conmutativa, onde a involución asocia a cada función o seu complexo conxugado Espazo dual